Una struttura algebrica è un insieme dotato di una o più operazioni binarie che soddisfano assiomi specificati. La progressione gruppo → anello → campo aggiunge via via più struttura e più operazioni.
Operazione Binaria
Un’operazione binaria su un insieme S è una funzione \star: S \times S \to S. Le proprietà fondamentali sono:
- Associatività: (a \star b) \star c = a \star (b \star c)
- Commutatività: a \star b = b \star a
- Elemento neutro e: a \star e = e \star a = a
- Inverso: per ogni a esiste a^{-1} tale che a \star a^{-1} = e
Gruppo
Un gruppo (G, \star) è un insieme con un’operazione binaria che soddisfa: associatività, esistenza dell’elemento neutro, esistenza dell’inverso per ogni elemento.
Se vale anche la commutatività, si dice gruppo abeliano (o commutativo).
Esempi: (\mathbb{Z}, +), (\mathbb{R}\setminus\{0\}, \cdot), il gruppo delle matrici invertibili GL(n, \mathbb{R}) con il prodotto.
Un sottogruppo H \subseteq G è un sottoinsieme chiuso rispetto all’operazione e agli inversi. Un omomorfismo di gruppi \phi: G \to H è una funzione che preserva l’operazione: \phi(a \star b) = \phi(a) \star \phi(b).
Anello
Un anello (A, +, \cdot) è un insieme con due operazioni: (A, +) è un gruppo abeliano, il prodotto \cdot è associativo e distributivo rispetto alla somma.
Se il prodotto è commutativo si parla di anello commutativo. Se esiste un elemento neutro per il prodotto, si parla di anello unitario.
Un dominio di integrità è un anello commutativo unitario senza divisori dello zero (cioè ab = 0 \Rightarrow a = 0 o b = 0).
Esempi: (\mathbb{Z}, +, \cdot), l’anello dei polinomi K[x] (vedi Polinomio), l’anello delle matrici M_n(\mathbb{R}).
Campo
Un campo (K, +, \cdot) è un anello commutativo in cui ogni elemento non nullo ha un inverso moltiplicativo. In altre parole: (K, +) e (K\setminus\{0\}, \cdot) sono entrambi gruppi abeliani.
I campi fondamentali dell’analisi e dell’algebra lineare sono:
| Campo | Simbolo | Note |
|---|---|---|
| Razionali | \mathbb{Q} | numerabile |
| Reali | \mathbb{R} | completo, ordinato |
| Complessi | \mathbb{C} | algebricamente chiuso |
| Interi modulo p | \mathbb{Z}_p | campo finito, p primo |
La caratteristica di un campo è il minimo intero positivo n tale che \underbrace{1 + \cdots + 1}_{n} = 0; se non esiste, la caratteristica è 0 (come per \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}). Vedi: Campi Finiti.
Applicazioni ingegneristiche
- Crittografia: i campi finiti \mathbb{Z}_p e le loro estensioni sono alla base di RSA, AES e delle curve ellittiche.
- Codici correttori: i codici di Reed-Solomon operano su campi finiti GF(2^m).
- Algebra lineare: uno spazio vettoriale è sempre definito su un campo; la scelta del campo (\mathbb{R} vs \mathbb{C}) determina le proprietà spettrali. Vedi: Spazio Vettoriale.