Statistica descrittiva: esercizi svolti

La statistica descrittiva riassume un insieme di dati con poche grandezze: indici di posizione (media, mediana, moda) e di dispersione (varianza, deviazione standard, range). È il primo passo prima di ogni inferenza: capire com’è fatto il campione. Questa scheda allena il calcolo manuale di questi indici.

1. Media campionaria

Esercizio. Dati: $4,\ 8,\ 6,\ 10,\ 7$ . Calcolare la media.

$\bar x=\dfrac{1}{n}\sum_i x_i=\dfrac{4+8+6+10+7}{5}=\dfrac{35}{5}=7.$

La media è il baricentro dei dati. È sensibile ai valori estremi: un singolo dato anomalo la sposta.

2. Mediana

Esercizio. Per gli stessi dati, calcolare la mediana.

Passo 1 — ordinare: $4,\ 6,\ 7,\ 8,\ 10$ .

Passo 2 — valore centrale ( $n=5$ dispari, posizione $(n+1)/2=3$ ):

$\tilde x=7.$

La mediana divide i dati in due metà uguali. A differenza della media è robusta: insensibile agli estremi. Con $n$ pari si media i due valori centrali.

3. Moda

Esercizio. Dati: $3,\ 5,\ 5,\ 7,\ 8,\ 5,\ 9$ . Trovare la moda.

La moda è il valore più frequente:

$\text{moda}=5\quad(\text{compare 3 volte}).$

La moda è l’unico indice di posizione utilizzabile anche su dati qualitativi. Una distribuzione può essere plurimodale.

4. Varianza campionaria

Esercizio. Per i dati $4,\ 8,\ 6,\ 10,\ 7$ (media $7$ ), calcolare la varianza campionaria.

La varianza campionaria divide per $n-1$ (correzione di Bessel):

$s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_i (x_i-\bar x)^2.$

Scarti al quadrato: $(4-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2+(10-7)^2+(7-7)^2=9+1+1+9+0=20$ :

$s^2=\dfrac{20}{5-1}=\dfrac{20}{4}=5{,}0.$

Si divide per $n-1$ (non $n$ ) perché la media è stimata dai dati stessi: si “consuma” un grado di libertà.

5. Deviazione standard e coefficiente di variazione

Esercizio. Per gli stessi dati, calcolare deviazione standard e coefficiente di variazione.

Deviazione standard:

$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{5{,}0}=2{,}24.$

Coefficiente di variazione (dispersione relativa):

$CV=\dfrac{s}{\bar x}=\dfrac{2{,}24}{7}=0{,}32=32\%.$

Il $CV$ è adimensionale: permette di confrontare la variabilità di grandezze con unità o ordini di grandezza diversi.

6. Quartili e scarto interquartile

Esercizio. Dati ordinati: $2,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8,\ 10,\ 12,\ 15$ . Calcolare $Q_1$ , $Q_3$ e lo scarto interquartile.

Passo 1 — mediana ( $n=8$ , media dei centrali $7$ e $8$ ): $Q_2=7{,}5$ .

Passo 2 — quartili (mediane delle due metà):

metà inferiore $2,4,5,7$ → $Q_1=(4+5)/2=4{,}5$ ;
metà superiore $8,10,12,15$ → $Q_3=(10+12)/2=11$ .

Passo 3 — scarto interquartile:

$IQR=Q_3-Q_1=11-4{,}5=6{,}5.$

L’ $IQR$ contiene il $50\%$ centrale dei dati ed è robusto agli outlier, base del box-plot.

7. Individuazione degli outlier

Esercizio. Con $Q_1=4{,}5$ , $Q_3=11$ , $IQR=6{,}5$ , stabilire se il valore $25$ è un outlier (regola di Tukey).

La regola di Tukey marca come outlier i valori oltre $Q_3+1{,}5\,IQR$ o sotto $Q_1-1{,}5\,IQR$ :

$Q_3+1{,}5\,IQR=11+1{,}5\times6{,}5=11+9{,}75=20{,}75.$

Poiché $25>20{,}75$ , il valore $25$ è un outlier. La soglia di $1{,}5\,IQR$ è il criterio standard del box-plot per segnalare valori anomali.

8. Media pesata

Esercizio. Un voto finale è composto da laboratorio ( $30\%$ ), scritto ( $50\%$ ) e orale ( $20\%$ ). Con punteggi $28$ , $24$ , $30$ , calcolare la media pesata.

La media pesata è

\bar x_w=\sum_i w_i x_i,

con pesi che sommano a $1$ . Quindi:

\bar x_w=0{,}30\cdot28+0{,}50\cdot24+0{,}20\cdot30 =8{,}4+12+6=26{,}4.

La media aritmetica semplice sarebbe $(28+24+30)/3=27{,}33$ , ma sarebbe sbagliata perché le tre prove non pesano allo stesso modo.

9. Dati raggruppati in frequenze

Esercizio. Una rilevazione dà i valori $1,2,3,4$ con frequenze $2,5,2,1$ . Calcolare media e varianza campionaria.

La numerosità totale è

n=2+5+2+1=10.

La media è

\bar x=\dfrac{1\cdot2+2\cdot5+3\cdot2+4\cdot1}{10} =\dfrac{2+10+6+4}{10} =2{,}2.

Per la varianza campionaria calcoliamo la somma degli scarti quadratici pesata:

\sum f_i(x_i-\bar x)^2 =2(1-2{,}2)^2+5(2-2{,}2)^2+2(3-2{,}2)^2+1(4-2{,}2)^2.

Numericamente:

2(1{,}44)+5(0{,}04)+2(0{,}64)+1(3{,}24) =2{,}88+0{,}20+1{,}28+3{,}24=7{,}60.

Quindi

s^2=\dfrac{7{,}60}{n-1}=\dfrac{7{,}60}{9}=0{,}844.

Le frequenze permettono di non riscrivere tutti i dati grezzi, ma ogni contributo va moltiplicato per la frequenza.

10. Standardizzazione e z-score

Esercizio. In un campione con media $50$ e deviazione standard $8$ , calcolare lo z-score del valore $66$ e interpretarlo.

Lo z-score è

z=\dfrac{x-\bar x}{s}.

Quindi

z=\dfrac{66-50}{8}=2.

Il valore $66$ si trova due deviazioni standard sopra la media. Gli z-score rendono confrontabili dati espressi su scale diverse: un valore con $z=2$ è alto rispetto al proprio gruppo, indipendentemente dall’unità di misura.

11. Effetto di un outlier su media e mediana

Esercizio. Confrontare media e mediana dei dati $10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 100$ .

I dati sono già ordinati. La mediana è il valore centrale:

\tilde x=12.

La media è

\bar x=\dfrac{10+11+12+13+100}{5} =\dfrac{146}{5}=29{,}2.

L’outlier $100$ sposta molto la media, ma lascia la mediana al centro del blocco principale. Per distribuzioni asimmetriche o con valori anomali conviene sempre riportare anche mediana e IQR, non solo media e deviazione standard.

Errori comuni

Dividere la varianza campionaria per $n$ . Per la varianza campionaria si divide per $n-1$ ; dividere per $n$ dà lo stimatore distorto (varianza di popolazione).
Confondere media e mediana su dati asimmetrici. Con outlier o code lunghe differiscono molto: la mediana è più rappresentativa.
Dimenticare di ordinare prima di mediana e quartili. Mediana, quartili e $IQR$ richiedono dati ordinati: calcolarli sulla sequenza grezza è errore frequente.
Confrontare deviazioni standard di grandezze diverse. Per confronti tra scale diverse serve il $CV$ (adimensionale), non $s$ in unità assolute.
Ignorare i pesi o le frequenze. Media e varianza su dati pesati/raggruppati richiedono di moltiplicare ogni valore per il suo peso o frequenza.
Usare solo la media in presenza di outlier. Una sintesi robusta richiede anche mediana, quartili e IQR.