Le sostituzioni di Weierstrass (o formule parametriche razionali) sono una tecnica di integrazione che permette di risolvere integrali di funzioni razionali contenenti \sin(x) e \cos(x).
Le Formule
La sostituzione universale consiste nel porre t = \tan(x/2). Tramite questa variabile, le funzioni trigonometriche diventano espressioni razionali di t:
- \sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}
- \cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}
- dx = \frac{2}{1+t^2} dt
Vantaggi e Svantaggi
- Vantaggio: Trasforma sempre l’integrale in uno di tipo razionale fratto, che può essere risolto con il metodo dei fratti semplici.
- Svantaggio: Spesso conduce a calcoli algebrici molto lunghi e a frazioni con denominatori di grado elevato.
Significato Ingegneristico
- Meccanica delle Macchine: Utilizzate nel calcolo di coppie e forze in meccanismi articolati (es. manovellismi) dove le equazioni del moto coinvolgono funzioni trigonometriche della posizione angolare.
- Ingegneria Navale: Calcolo dei momenti di spinta e di stabilità (metacentro) per carene con forme geometriche descritte da funzioni circolari.
- Analisi Energetica: Integrazione di potenze istantanee in circuiti a corrente alternata per determinare l’energia attiva e reattiva dissipata o scambiata.
- Robotica: Risoluzione della cinematica inversa per manipolatori a giunti rotoidali.