I solidi notevoli — prisma, cilindro, cono, piramide, sfera — sono la base del calcolo di volumi e superfici in ingegneria: serbatoi, recipienti, componenti. Questa scheda allena le formule fondamentali e le relazioni tra solidi (cono/cilindro, sfera), centrali negli esami e nelle stime tecniche.
1. Volume e superficie del cilindro
Esercizio. Un cilindro ha raggio di base r=3 e altezza h=10. Calcolare volume e superficie totale.
V=\pi r^2 h=\pi\times9\times10=90\pi\approx283.
S_{tot}=2\pi r^2+2\pi r h=2\pi\times9+2\pi\times3\times10=18\pi+60\pi=78\pi\approx245.
Il volume è area di base × altezza; la superficie totale somma le due basi e la superficie laterale (2\pi r h).
2. Volume del cono
Esercizio. Un cono ha raggio di base r=3 e altezza h=10. Calcolare il volume.
V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h=\dfrac{1}{3}\pi\times9\times10=30\pi\approx94{,}2.
Il cono ha volume pari a un terzo del cilindro di pari base e altezza (stesso r e h del punto 1: 90\pi/3=30\pi). È una relazione fondamentale.
3. Superficie laterale del cono
Esercizio. Per il cono del punto 2 (r=3, h=10), calcolare l’apotema e la superficie laterale.
Passo 1 — apotema (Pitagora su raggio e altezza):
a=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{9+100}=\sqrt{109}=10{,}44.
Passo 2 — superficie laterale:
S_{lat}=\pi r a=\pi\times3\times10{,}44=31{,}3\pi\approx98{,}4.
L’apotema del cono (lato obliquo) si trova con Pitagora; la superficie laterale è \pi r a, non \pi r h.
4. Volume della piramide
Esercizio. Una piramide a base quadrata ha lato di base \ell=6 e altezza h=9. Calcolare il volume.
V=\dfrac{1}{3} A_{base}\,h=\dfrac{1}{3}\times(6\times6)\times9=\dfrac{1}{3}\times36\times9=108.
Come il cono, la piramide ha volume un terzo del prisma di pari base e altezza. La regola "1/3" accomuna tutti i solidi a punta.
5. Volume e superficie della sfera
Esercizio. Una sfera ha raggio r=6. Calcolare volume e superficie.
V=\dfrac{4}{3}\pi r^3=\dfrac{4}{3}\pi\times216=288\pi\approx905.
S=4\pi r^2=4\pi\times36=144\pi\approx452.
Il volume cresce col cubo del raggio, la superficie col quadrato: raddoppiando r, il volume si ottuplica. Notevole: S=4\pi r^2 è la derivata del volume rispetto a r.
6. Principio di Cavalieri
Esercizio. Enunciare il principio di Cavalieri e applicarlo al confronto tra due solidi.
Il principio di Cavalieri: due solidi con la stessa altezza che, tagliati da ogni piano parallelo alla base, danno sezioni di area uguale, hanno lo stesso volume.
Applicazione: un cilindro e un prisma con basi di area uguale e stessa altezza hanno lo stesso volume, indipendentemente dalla forma della base. È lo strumento che giustifica le formule dei volumi indipendentemente dalla sezione, base storica del calcolo integrale.
7. Raggio di un cilindro dal volume
Esercizio. Un serbatoio cilindrico alto h=12 ha volume V=192\pi. Calcolare il raggio.
Partiamo da:
Isoliamo r:
Verifica: \pi\cdot4^2\cdot12=192\pi. Negli esercizi inversi il passaggio critico è ricordare la radice: il raggio compare al quadrato.
8. Tronco di cono
Esercizio. Un tronco di cono ha raggi R=5, r=2 e altezza h=9. Calcolare il volume.
La formula del tronco di cono è:
Sostituendo:
Il termine misto Rr è essenziale: non basta fare la media dei raggi e trattare il solido come un cilindro. Il tronco di cono si ottiene come differenza tra due coni simili, e la formula compatta riassume quel calcolo.
9. Rapporto tra solidi simili
Esercizio. Due sfere hanno raggi r_1=3 e r_2=6. Confrontare superfici e volumi.
Il rapporto lineare è:
Le superfici stanno nel rapporto k^2:
I volumi stanno nel rapporto k^3:
Quindi raddoppiando il raggio la superficie quadruplica e il volume ottuplica. È lo stesso principio che governa scala, peso e capacità nei modelli fisici.
10. Prisma obliquo e Cavalieri
Esercizio. Un prisma obliquo ha base di area A_b=30 e altezza h=7. Calcolare il volume.
Per Cavalieri, il volume dipende dall’area della base e dall’altezza perpendicolare, non dall’inclinazione degli spigoli laterali:
L’altezza deve essere la distanza perpendicolare tra le basi parallele. Usare lo spigolo obliquo al posto dell’altezza sovrastima il volume, come accade anche nel parallelogramma in geometria piana.
11. Superficie di una piramide retta
Esercizio. Una piramide retta a base quadrata ha lato di base \ell=10 e altezza h=12. Calcolare la superficie laterale e totale.
Per la superficie laterale serve l’apotema della piramide, cioè l’altezza di ciascuna faccia triangolare. Si calcola con Pitagora usando metà lato di base:
L’area di una faccia triangolare è:
Le facce sono 4:
La base vale:
Quindi:
La superficie laterale richiede l’apotema della faccia, non l’altezza verticale della piramide.
Errori comuni
- Dimenticare il 1/3 per cono e piramide. I solidi “a punta” hanno volume \dfrac{1}{3} del cilindro/prisma corrispondente.
- Usare l’altezza al posto dell’apotema nel cono. La superficie laterale è \pi r a con a=\sqrt{r^2+h^2}, non \pi r h.
- Confondere gli esponenti della sfera. Volume \dfrac{4}{3}\pi r^3 (cubo), superficie 4\pi r^2 (quadrato).
- Sommare male le superfici. La superficie totale include basi e laterale; quella laterale da sola esclude le basi.
- Usare spigoli obliqui come altezze. Nei volumi conta l’altezza perpendicolare; nelle superfici laterali conta invece l’apotema della faccia o del cono.