Un sistema di EDO lineari del primo ordine ha la forma: \dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + \mathbf{b}(t)
con A \in \mathbb{R}^{n \times n}, \mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n. La soluzione del sistema omogeneo (\mathbf{b} = 0) è: \mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}(0)
Matrice Esponenziale
La matrice esponenziale è definita dalla serie: e^{At} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(At)^k}{k!} = I + At + \frac{A^2t^2}{2!} + \cdots
Proprietà: \frac{d}{dt}e^{At} = Ae^{At}, e se AB = BA allora e^{(A+B)t} = e^{At}e^{Bt}.
Diagonalizzazione e Calcolo di e^{At}
Se A è diagonalizzabile (A = PDP^{-1} con D = \text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)): e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1}, \qquad e^{Dt} = \text{diag}(e^{\lambda_1 t}, \ldots, e^{\lambda_n t})
Se A non è diagonalizzabile si usa la forma di Jordan.
Stabilità Lineare e Ritratto di Fase
La stabilità dell’equilibrio \mathbf{x} = 0 è determinata dagli autovalori di A:
| Autovalori | Tipo di equilibrio |
|---|---|
| Tutti con \text{Re}(\lambda) < 0 | Asintoticamente stabile (attrattore) |
| Almeno uno con \text{Re}(\lambda) > 0 | Instabile |
| Tutti con \text{Re}(\lambda) \leq 0, alcuni = 0 | Stabile (non asintoticamente) |
Il ritratto di fase è il grafico delle traiettorie nel piano delle fasi (x_1, x_2) per sistemi 2 \times 2: nodo stabile/instabile, centro, punto di sella, fuoco stabile/instabile.