Due figure sono simili se hanno la stessa forma ma dimensioni diverse, legate da un rapporto di similitudine. Le trasformazioni geometriche (isometrie e omotetie) descrivono come le figure si spostano e si scalano. Questa scheda allena il rapporto di similitudine e i suoi effetti su lunghezze, aree e volumi, fonte di molti errori d’esame.
1. Rapporto di similitudine
Esercizio. Due triangoli simili hanno lati corrispondenti 6 e 9. Qual è il rapporto di similitudine?
Il rapporto di similitudine k è il rapporto tra lati corrispondenti:
k=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}=1{,}5.
Tutti i lati del secondo triangolo sono 1{,}5 volte quelli del primo. Il rapporto è lo stesso per ogni coppia di lati corrispondenti.
2. Rapporto tra perimetri
Esercizio. Per i triangoli del punto 1 (k=1{,}5), se il primo ha perimetro 20, qual è quello del secondo?
I perimetri stanno nello stesso rapporto dei lati (lineare):
P_2=k\,P_1=1{,}5\times20=30.
Le grandezze lineari (lati, perimetri, altezze) scalano con k. È il caso più semplice.
3. Rapporto tra aree
Esercizio. Per gli stessi triangoli simili (k=1{,}5), se il primo ha area 24, qual è quella del secondo?
Le aree stanno nel rapporto k^2 (quadrato del rapporto di similitudine):
A_2=k^2 A_1=1{,}5^2\times24=2{,}25\times24=54.
Errore tipico: moltiplicare l’area per k invece di k^2. Le superfici scalano con il quadrato del rapporto lineare.
4. Rapporto tra volumi
Esercizio. Due solidi simili hanno rapporto k=2. Se il piccolo ha volume 50, qual è quello del grande?
I volumi stanno nel rapporto k^3 (cubo):
V_2=k^3 V_1=2^3\times50=8\times50=400.
Raddoppiando le dimensioni lineari, il volume si ottuplica. La progressione è: lunghezze \times k, aree \times k^2, volumi \times k^3.
5. Criteri di similitudine dei triangoli
Esercizio. Stabilire se due triangoli con angoli (50^\circ,60^\circ) e (60^\circ,70^\circ) sono simili.
Il primo criterio (AA): due triangoli sono simili se hanno due angoli uguali. Calcolo del terzo angolo:
- primo: 180-50-60=70^\circ → angoli (50,60,70);
- secondo: 180-60-70=50^\circ → angoli (60,70,50).
Stessi tre angoli → triangoli simili (criterio AA). Basta verificare due angoli uguali: il terzo segue automaticamente.
6. Omotetia
Esercizio. Un’omotetia di centro O e rapporto k=3 trasforma un punto P a distanza 4 da O. A quale distanza finisce l’immagine P'?
L’omotetia scala le distanze dal centro per il fattore k:
OP'=k\cdot OP=3\times4=12.
L’omotetia è una trasformazione che ingrandisce/rimpicciolisce mantenendo la forma (similitudine con centro fisso). A differenza delle isometrie (traslazione, rotazione, riflessione) che conservano le distanze (k=1), l’omotetia le scala.
7. Ricavare il rapporto da due aree
Esercizio. Due figure simili hanno aree A_1=32 e A_2=72. Calcolare il rapporto di similitudine dal primo al secondo.
Le aree stanno nel rapporto k^2:
Quindi:
Il rapporto lineare è 1{,}5, non \dfrac{72}{32}=2{,}25. Quando il dato è un’area, bisogna sempre prendere la radice quadrata per risalire alle lunghezze.
8. Scala cartografica
Esercizio. Una carta ha scala 1:25\,000. Un segmento sulla carta misura 3{,}2\ \text{cm}. Qual è la distanza reale?
La scala 1:25\,000 significa che 1\ \text{cm} sulla carta rappresenta 25\,000\ \text{cm} reali. Dunque:
Convertiamo:
Le scale sono rapporti di similitudine applicati a distanze lineari: non vanno mai applicate direttamente ad aree o volumi senza elevarle al quadrato o al cubo.
9. Omotetia con rapporto negativo
Esercizio. Un’omotetia di centro O e rapporto k=-2 manda un punto P con OP=5 in P'. Dove si trova P'?
Il modulo del rapporto determina la distanza:
Il segno negativo indica che P' sta sulla stessa retta OP, ma nel semiretta opposta rispetto a P. Quindi P' è a distanza 10 da O dalla parte opposta.
Un’omotetia con k<0 combina ingrandimento e simmetria centrale: la forma resta simile, ma l’orientamento viene ribaltato rispetto al centro.
10. Isometria o similitudine?
Esercizio. Una trasformazione manda un segmento lungo 8 in un segmento lungo 8 e un triangolo di area 18 in un triangolo di area 18. È sicuramente un’isometria?
Conservare una singola lunghezza e una singola area non basta per concludere che la trasformazione sia un’isometria. Un’isometria deve conservare tutte le distanze tra coppie di punti. Esempi di isometrie sono traslazioni, rotazioni, riflessioni e loro composizioni.
Se invece una trasformazione moltiplica tutte le distanze per lo stesso k, allora è una similitudine; se k=1, diventa un’isometria. La verifica corretta è:
Quindi i dati dell’esercizio sono compatibili con un’isometria, ma non la dimostrano da soli.
Errori comuni
- Scalare l’area con k invece di k^2. Le aree vanno con il quadrato del rapporto di similitudine, i volumi con il cubo.
- Ricavare k dalle aree senza radice. Se \dfrac{A_2}{A_1}=k^2, allora k=\sqrt{\dfrac{A_2}{A_1}}.
- Confondere similitudine e congruenza. La congruenza è similitudine con k=1 (stesse dimensioni); la similitudine ammette qualsiasi k.
- Dimenticare che AA basta. Per i triangoli due angoli uguali garantiscono la similitudine: non serve verificare i lati.
- Trattare l’omotetia come isometria. L’omotetia (con k\ne1) cambia le dimensioni; solo le isometrie conservano le distanze.