La sfera di centro C = (a, b, c) e raggio r > 0 è il luogo dei punti P = (x, y, z) a distanza r da C:
\Sigma:\quad (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2
Forma generale: espandendo, la sfera si scrive come:
x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0
con D = -2a, E = -2b, F = -2c e G = a^2 + b^2 + c^2 - r^2.
Il centro è C = (-D/2,\, -E/2,\, -F/2) e il raggio è r = \sqrt{(D/2)^2 + (E/2)^2 + (F/2)^2 - G} (reale se e solo se (D/2)^2 + (E/2)^2 + (F/2)^2 > G).
Posizioni reciproche tra retta e sfera
Sia r la retta P_0 + t\vec{d} (con |\vec{d}| = 1) e \Sigma la sfera di centro C e raggio \rho.
La distanza del centro C dalla retta è \delta = |\vec{CP_0} - (\vec{CP_0}\cdot\vec{d})\vec{d}|.
| Posizione | Condizione | Punti comuni |
|---|---|---|
| Esterna (sghemba) | \delta > \rho | nessuno |
| Tangente | \delta = \rho | un punto (tangenza) |
| Secante | \delta < \rho | due punti distinti |
I parametri dei punti di intersezione si trovano risolvendo |P_0 + t\vec{d} - C|^2 = \rho^2, che è un’equazione di secondo grado in t con discriminante \Delta = \rho^2 - \delta^2.
Posizioni reciproche tra piano e sfera
Sia \pi: \vec{n}\cdot\vec{x} = c (con |\vec{n}| = 1) e \Sigma la sfera di centro C e raggio \rho.
La distanza del centro dal piano è \delta = |\vec{n}\cdot C - c|.
| Posizione | Condizione | Sezione |
|---|---|---|
| Piano esterno | \delta > \rho | nessun punto in comune |
| Piano tangente | \delta = \rho | un punto (polo) |
| Piano secante | \delta < \rho | una circonferenza di raggio \sqrt{\rho^2 - \delta^2} |
Tangenti e piani tangenti a una sfera
Il piano tangente in un punto P_0 \in \Sigma è perpendicolare al raggio \overrightarrow{CP_0} nel punto P_0. La sua equazione è:
(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) + (z_0 - c)(z - c) = r^2
oppure, in forma generale: x_0 x + y_0 y + z_0 z + \frac{D(x + x_0) + E(y + y_0) + F(z + z_0)}{2} + G = 0.
Le rette tangenti alla sfera da un punto esterno Q formano un cono con vertice in Q; esse sono contenute nel piano polare di Q rispetto alla sfera (generalizzazione della relazione polo-polare delle coniche).
Circonferenza nello spazio come intersezione
Una circonferenza nello spazio è il luogo dei punti \Sigma \cap \pi dove \Sigma è una sfera e \pi un piano secante. Non ha un’equazione cartesiana semplice come le curve piane; si descrive come soluzione del sistema:
\begin{cases}(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2\\ \alpha x + \beta y + \gamma z = d\end{cases}
Il centro della circonferenza è la proiezione ortogonale del centro C della sfera sul piano \pi, e il suo raggio è \rho_c = \sqrt{r^2 - \delta^2} dove \delta è la distanza C-\pi.
In alternativa, una circonferenza nello spazio è l’intersezione di due sfere non concentriche (il che equivale all’intersezione con un piano, detto piano radicale).
Fascio di sfere
Due sfere \Sigma_1 e \Sigma_2 determinano un fascio di sfere:
\lambda \Sigma_1 + \mu \Sigma_2 = 0 \quad (\lambda, \mu) \neq (0,0)
Il piano radicale di \Sigma_1 e \Sigma_2 è il luogo dei punti con uguale potenza rispetto alle due sfere; per sfere secanti, è il piano contenente la circonferenza di intersezione. Tutte le sfere del fascio hanno lo stesso piano radicale.
Applicazioni ingegneristiche
- Meccanica: la sfera è il modello ideale dei giunti sferici (ball-and-socket joint); le equazioni di interferenza sfera–piano e sfera–retta si usano nei collision test.
- Ottica: le lenti sferiche e gli specchi sferici in ottica geometrica sfruttano le proprietà di riflessione e rifrazione sulla sfera.
- Geofisica e geodesia: la Terra è modellata come sferoide; molti calcoli di distanza e copertura si approssimano con geometria sferica.
- Geometria computazionale: le bounding sphere sono una delle strutture dati più usate per il culling rapido in real-time rendering.