Sfera nello Spazio

La sfera di centro $C = (a, b, c)$ e raggio $r > 0$ è il luogo dei punti $P = (x, y, z)$ a distanza $r$ da $C$:

$\Sigma:\quad (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$

Forma generale: espandendo, la sfera si scrive come:

$x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0$

con $D = -2a$, $E = -2b$, $F = -2c$ e $G = a^2 + b^2 + c^2 - r^2$.

Il centro è $C = (-D/2,\, -E/2,\, -F/2)$ e il raggio è $r = \sqrt{(D/2)^2 + (E/2)^2 + (F/2)^2 - G}$ (reale se e solo se $(D/2)^2 + (E/2)^2 + (F/2)^2 > G$).

Posizioni reciproche tra retta e sfera

Sia $r$ la retta $P_0 + t\vec{d}$ (con $|\vec{d}| = 1$) e $\Sigma$ la sfera di centro $C$ e raggio $\rho$.

La distanza del centro $C$ dalla retta è $\delta = |\vec{CP_0} - (\vec{CP_0}\cdot\vec{d})\vec{d}|$.

Posizione	Condizione	Punti comuni
Esterna (sghemba)	$\delta > \rho$	nessuno
Tangente	$\delta = \rho$	un punto (tangenza)
Secante	$\delta < \rho$	due punti distinti

I parametri dei punti di intersezione si trovano risolvendo $|P_0 + t\vec{d} - C|^2 = \rho^2$, che è un’equazione di secondo grado in $t$ con discriminante $\Delta = \rho^2 - \delta^2$.

Posizioni reciproche tra piano e sfera

Sia $\pi: \vec{n}\cdot\vec{x} = c$ (con $|\vec{n}| = 1$) e $\Sigma$ la sfera di centro $C$ e raggio $\rho$.

La distanza del centro dal piano è $\delta = |\vec{n}\cdot C - c|$.

Posizione	Condizione	Sezione
Piano esterno	$\delta > \rho$	nessun punto in comune
Piano tangente	$\delta = \rho$	un punto (polo)
Piano secante	$\delta < \rho$	una circonferenza di raggio $\sqrt{\rho^2 - \delta^2}$

Tangenti e piani tangenti a una sfera

Il piano tangente in un punto $P_0 \in \Sigma$ è perpendicolare al raggio $\overrightarrow{CP_0}$ nel punto $P_0$. La sua equazione è:

$(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) + (z_0 - c)(z - c) = r^2$

oppure, in forma generale: $x_0 x + y_0 y + z_0 z + \frac{D(x + x_0) + E(y + y_0) + F(z + z_0)}{2} + G = 0$.

Le rette tangenti alla sfera da un punto esterno $Q$ formano un cono con vertice in $Q$; esse sono contenute nel piano polare di $Q$ rispetto alla sfera (generalizzazione della relazione polo-polare delle coniche).

Circonferenza nello spazio come intersezione

Una circonferenza nello spazio è il luogo dei punti $\Sigma \cap \pi$ dove $\Sigma$ è una sfera e $\pi$ un piano secante. Non ha un’equazione cartesiana semplice come le curve piane; si descrive come soluzione del sistema:

$\begin{cases}(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2\\ \alpha x + \beta y + \gamma z = d\end{cases}$

Il centro della circonferenza è la proiezione ortogonale del centro $C$ della sfera sul piano $\pi$, e il suo raggio è $\rho_c = \sqrt{r^2 - \delta^2}$ dove $\delta$ è la distanza $C$-$\pi$.

In alternativa, una circonferenza nello spazio è l’intersezione di due sfere non concentriche (il che equivale all’intersezione con un piano, detto piano radicale).

Fascio di sfere

Due sfere $\Sigma_1$ e $\Sigma_2$ determinano un fascio di sfere:

$\lambda \Sigma_1 + \mu \Sigma_2 = 0 \quad (\lambda, \mu) \neq (0,0)$

Il piano radicale di $\Sigma_1$ e $\Sigma_2$ è il luogo dei punti con uguale potenza rispetto alle due sfere; per sfere secanti, è il piano contenente la circonferenza di intersezione. Tutte le sfere del fascio hanno lo stesso piano radicale.

Applicazioni ingegneristiche

• Meccanica: la sfera è il modello ideale dei giunti sferici (ball-and-socket joint); le equazioni di interferenza sfera–piano e sfera–retta si usano nei collision test.
• Ottica: le lenti sferiche e gli specchi sferici in ottica geometrica sfruttano le proprietà di riflessione e rifrazione sulla sfera.
• Geofisica e geodesia: la Terra è modellata come sferoide; molti calcoli di distanza e copertura si approssimano con geometria sferica.
• Geometria computazionale: le bounding sphere sono una delle strutture dati più usate per il culling rapido in real-time rendering.