Una serie storica è una sequenza di osservazioni ordinate nel tempo (vendite mensili, temperature, indici). L’obiettivo è capirne la struttura — trend, stagionalità, rumore — e prevedere i valori futuri. Questa scheda allena la scomposizione, il lisciamento e i modelli previsionali di base.
Scomposizione classica: \;Y_t=T_t+S_t+\varepsilon_t\; (trend + stagionalità + residuo), nella forma additiva.
1. Componenti di una serie storica
Esercizio. Elencare e descrivere le componenti di una serie storica.
Una serie si scompone in:
- trend T_t: andamento di fondo a lungo termine (crescita/calo);
- stagionalità S_t: oscillazioni periodiche regolari (es. annuali);
- ciclo: oscillazioni più lunghe e irregolari (es. economiche);
- residuo \varepsilon_t: rumore casuale non spiegato.
Isolare queste componenti permette di capire la dinamica e di prevedere. La forma additiva (Y_t=T_t+S_t+\varepsilon_t) si usa quando l’ampiezza stagionale è costante; quella moltiplicativa quando cresce col livello.
2. Media mobile
Esercizio. Calcolare la media mobile a 3 termini della serie 4,\ 6,\ 5,\ 8,\ 7.
La media mobile a 3 termini media ogni valore con i due vicini:
\text{MM}_2=\dfrac{4+6+5}{3}=5{,}0,\quad \text{MM}_3=\dfrac{6+5+8}{3}=6{,}33,\quad \text{MM}_4=\dfrac{5+8+7}{3}=6{,}67.
La media mobile liscia il rumore evidenziando il trend. Perde i valori agli estremi (qui il primo e l’ultimo) e attenua le oscillazioni rapide.
3. Lisciamento esponenziale
Esercizio. Con lisciamento esponenziale (\alpha=0{,}3), previsione corrente \hat y_t=50 e osservato y_t=56, calcolare la previsione successiva.
Il lisciamento esponenziale aggiorna la previsione pesando l’errore recente:
\hat y_{t+1}=\alpha\,y_t+(1-\alpha)\hat y_t=0{,}3\times56+0{,}7\times50=16{,}8+35=51{,}8.
Il parametro \alpha controlla la reattività: \alpha alto segue da vicino i dati recenti, \alpha basso liscia di più. La previsione si sposta verso l’osservato del 30\% dell’errore.
4. Autocorrelazione
Esercizio. Spiegare cosa misura la funzione di autocorrelazione (ACF) e a cosa serve.
L’autocorrelazione al ritardo k misura la correlazione della serie con se stessa traslata di k passi:
\rho_k=\dfrac{\operatorname{Cov}(Y_t,Y_{t-k})}{\operatorname{Var}(Y_t)}.
Un’ACF alta a ritardo k indica dipendenza tra valori distanti k passi: un picco a k=12 su dati mensili rivela stagionalità annuale. L’ACF guida la scelta del modello (AR, MA, ARIMA).
5. Modello autoregressivo AR(1)
Esercizio. Un modello AR(1) è Y_t=0{,}6\,Y_{t-1}+\varepsilon_t. Se Y_{t-1}=10, qual è la previsione di Y_t (a meno del rumore)?
Nell’AR(1) il valore dipende linearmente dal precedente:
\hat Y_t=\phi\,Y_{t-1}=0{,}6\times10=6{,}0.
La previsione è 6{,}0 (valore atteso, con E[\varepsilon]=0). Il coefficiente \phi=0{,}6 misura la “persistenza”: valori vicini a 1 danno serie molto inerziali, vicini a 0 quasi casuali.
6. Stazionarietà
Esercizio. Perché la stazionarietà è importante e come si ottiene da una serie con trend?
Una serie è stazionaria se media, varianza e autocorrelazione non cambiano nel tempo. Molti modelli (AR, ARMA) la richiedono.
Una serie con trend non è stazionaria; si rende tale tramite differenziazione:
\nabla Y_t=Y_t-Y_{t-1}.
La differenza prima rimuove un trend lineare; differenziando ancora si tolgono trend più complessi. È il passo “I” (Integrated) dei modelli ARIMA.
7. Differenza prima su dati numerici
Esercizio. Calcolare la differenza prima della serie 10,\ 13,\ 17,\ 20,\ 26.
La differenza prima è:
Quindi:
La serie differenziata è:
La differenziazione trasforma livelli in variazioni. Se il trend è quasi lineare, le differenze oscillano intorno a una media più stabile.
8. Errore di previsione e MAE
Esercizio. Previsioni e osservazioni sono: \hat y=(100,110,105), y=(102,107,111). Calcolare gli errori e il MAE.
Errori:
Il MAE è la media degli errori assoluti:
Il MAE è nella stessa unità della serie e misura l’errore medio tipico senza far cancellare errori positivi e negativi.
9. Previsione AR(1) a più passi
Esercizio. Un modello AR(1) è Y_t=0{,}6Y_{t-1}+\varepsilon_t con Y_t=10. Calcolare le previsioni a 1, 2 e 3 passi, assumendo media nulla.
Un passo:
Due passi:
Tre passi:
Le previsioni tornano verso la media di lungo periodo, qui zero. Per un AR(1) stazionario con |\phi|<1, l’effetto del valore iniziale decade geometricamente.
10. Stagionalità additiva semplice
Esercizio. Una serie mensile ha trend stimato T_t=200 e indice stagionale additivo di dicembre S_{dic}=+35. Qual è la previsione per dicembre, trascurando il residuo?
Nel modello additivo:
Quindi:
Nel modello additivo la stagionalità si somma al livello. Se invece l’ampiezza stagionale crescesse con il trend, sarebbe più adatto un modello moltiplicativo.
Errori comuni
- Modellare una serie non stazionaria. AR/ARMA richiedono stazionarietà: con trend va prima differenziata.
- Confondere additivo e moltiplicativo. Se l’ampiezza stagionale cresce col livello, serve la scomposizione moltiplicativa, non additiva.
- Scegliere male \alpha nel lisciamento. \alpha alto insegue il rumore, \alpha basso reagisce troppo lentamente: va calibrato.
- Ignorare l’ACF stagionale. Picchi a ritardi multipli del periodo rivelano stagionalità: trascurarli porta a modelli inadeguati.
- Valutare un modello senza misurare l’errore. Le previsioni vanno confrontate con osservazioni tramite MAE, RMSE, MAPE o metriche coerenti col problema.
- Dimenticare il ritorno alla media negli AR stazionari. Le previsioni a più passi non restano bloccate sull’ultimo valore.