Una serie di potenze centrata in x_0 è una serie della forma: \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n
Raggio di Convergenza
Esiste sempre un numero R \in [0, +\infty] detto raggio di convergenza tale che la serie:
- converge assolutamente per |x - x_0| < R
- diverge per |x - x_0| > R
- può convergere o divergere su |x - x_0| = R (va verificato caso per caso)
Formula di Cauchy-Hadamard
\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}
Equivalentemente, se esiste il limite: \frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
Proprietà
All’interno del disco di convergenza, una serie di potenze:
- è una funzione continua
- è derivabile termine a termine, con lo stesso raggio di convergenza
- è integrabile termine a termine
Sviluppi di McLaurin Notevoli
| Funzione | Sviluppo | Raggio |
|---|---|---|
| e^x | \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} | +\infty |
| \sin x | \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} | +\infty |
| \cos x | \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} | +\infty |
| \ln(1+x) | \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} | 1 |
| \frac{1}{1-x} | \sum_{n=0}^\infty x^n | 1 |
| (1+x)^\alpha | \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^n | 1 |
Serie di Potenze nel Campo Complesso
La teoria si estende a \mathbb{C}: una serie \sum a_n z^n converge nel disco |z| < R e definisce una funzione olomorfa (analitica complessa). Ogni funzione olomorfa è localmente somma di una serie di potenze.