Residuo

Il residuo di una funzione complessa $f(z)$ in una singolarità isolata $z_0$ è una grandezza che “riassume” il comportamento della funzione attorno a quel punto.

Definizione

Dato lo sviluppo in serie di Laurent di $f(z)$ attorno a $z_0$: $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z - z_0)^n$ il residuo è il coefficiente $a_{-1}$: $\text{Res}(f, z_0) = a_{-1}$

Proprietà Fondamentale

Il residuo è l’unico termine dello sviluppo che contribuisce all’integrale di linea lungo un cammino chiuso $\gamma$ che circonda la singolarità: $\oint_\gamma f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, z_0)$

Significato Ingegneristico

• Analisi dei Sistemi Fisici: I residui rappresentano i pesi (o ampiezze) delle diverse componenti della risposta di un sistema (modi propri). Ad esempio, nella scomposizione in fratti semplici di una funzione di trasferimento, i residui determinano quanto ogni polo influisce sulla risposta totale.
• Trasformate Integrali: Il calcolo dei residui è il metodo standard per determinare l’antitrasformata di Laplace di sistemi con poli multipli, definendo il comportamento temporale (es. frequenza di oscillazione e costante di tempo del decadimento).
• Progettazione di Reti Elettriche: Utilizzati per calcolare le ampiezze delle correnti nei transitori di reti passive e attive.
• Meccanica delle Vibrazioni: Determinano il contributo di ogni modo di vibrare allo spostamento totale di una struttura soggetta a sollecitazioni esterne.