Quadriche: Classificazione e Forme Canoniche

Una quadrica è una superficie di $\mathbb{R}^3$ definita da un’equazione algebrica di secondo grado nelle tre coordinate:

$F(x, y, z) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + 2\mathbf{b}^T \mathbf{x} + c = 0$

dove $A$ è una matrice simmetrica $3 \times 3$, $\mathbf{x} = (x, y, z)^T$, $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^3$ e $c \in \mathbb{R}$.

In forma esplicita, l’equazione generale è:

$ax^2 + by^2 + cz^2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + gx + hy + kz + l = 0$

Invarianti e riduzione a forma canonica

La classificazione delle quadriche si ottiene tramite gli invarianti della matrice omogenea associata $\tilde{A}$ (la matrice $4\times 4$ che include i termini lineari) e della matrice $A$ della parte quadratica:

• $I_1 = \mathrm{tr}(A) = a + b + c$ (primo invariante)
• $I_2 =$ somma dei minori principali $2\times 2$ di $A$
• $I_3 = \det(A)$
• $I_4 = \det(\tilde{A})$

I segni di questi invarianti e il rango di $A$ e $\tilde{A}$ determinano il tipo di quadrica.

Con un opportuno cambio di coordinate (traslazione al centro + rotazione che diagonalizza $A$), ogni quadrica si riduce a forma canonica:

$\frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} \pm \frac{z^2}{c^2} = \varepsilon, \quad \text{oppure} \quad \frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} \pm 2pz = 0$

Ellissoide

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \quad (a, b, c > 0)$

Superficie chiusa e limitata con tre assi di simmetria. I semi-assi $a$, $b$, $c$ sono le semi-ampiezze lungo $x$, $y$, $z$. Se $a = b = c$, si riduce alla sfera. Le sezioni piane parallele ai piani coordinati sono ellissi (o cerchi). Il volume è $V = \frac{4}{3}\pi abc$.

Iperboloidi

Iperboloide a una falda (connesso):

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$

Superficie illimitata, connessa, con un “collo” minimo (cerchio o ellisse di raggio $a$, $b$ nel piano $z=0$). Le sezioni con piani $z = k$ sono ellissi; le sezioni con $x = k$ o $y = k$ sono iperboli. Contiene due famiglie di rette (è una superficie rigata), proprietà fondamentale in architettura.

Iperboloide a due falde (due componenti connesse):

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$

Due calotte separate dal piano $z = 0$. Non contiene rette reali.

Paraboloidi

Paraboloide ellittico:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2pz \quad (p > 0)$

Superficie aperta verso l’alto (per $p > 0$), con minimo nell’origine. Le sezioni con $z = k > 0$ sono ellissi; le sezioni con $x = k$ o $y = k$ sono parabole.

Paraboloide iperbolico (a sella):

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2pz$

Superficie aperta sia verso l’alto sia verso il basso, con punto di sella nell’origine. È una superficie rigata (contiene due famiglie di rette). Le sezioni con $z = k \neq 0$ sono iperboli; per $z = 0$ si ottengono due rette.

Cono quadrico

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$

Superficie rigata con singolarità (vertice) nell’origine. È il cono asintotico dell’iperboloide. Le generatrici (rette) partono tutte dal vertice. Le sezioni con $z = k \neq 0$ sono ellissi.

Cilindri quadrici

I cilindri quadrici mancano di una delle tre variabili nella forma canonica (o equivalentemente hanno $I_3 = \det(A) = 0$):

Tipo	Equazione canonica	Nota
Cilindro ellittico	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$	direttrici ellittiche, generatrici $\parallel z$
Cilindro iperbolico	$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$	due falde
Cilindro parabolico	$x^2 = 2py$	aperto

Quadriche degeneri

Le quadriche degeneri si ottengono quando $I_4 = \det(\tilde{A}) = 0$:

Tipo	Forma	Esempio
Cono reale	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$	cono con vertice
Coppia di piani reali	$x^2 - a^2 = 0$	due piani paralleli
Piano doppio	$x^2 = 0$	piano con molteplicità 2
Quadrica immaginaria	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} = -1$	nessun punto reale
Coppia di piani complessi	$x^2 + a^2 = 0$	nessun punto reale

Applicazioni ingegneristiche

• Architettura e strutture: i gusci a doppia curvatura (cupole, torri a traforo) assumono spesso forme iperboloidi o paraboloidi, che offrono rigidità con quantità minima di materiale. Esempi celebri: Torre di Shukhov (iperboloide), stadi coperti da paraboloidi iperbolici.
• Ottica e antenne: le antenne paraboliche e gli specchi dei telescopi seguono la forma del paraboloide; il fuoco del paraboloide è il punto dove si concentra l’energia.
• Meccanica: i perni sferici e le superfici di contatto tra organi meccanici sono spesso approssimate con ellissoidi (teoria del contatto di Hertz).
• Aerodinamica: le fusoliere e i corpi di rivoluzione aerodinamici hanno sezioni meridiane che si modellano con archi di ellisse o parabola.