Una quadrica è una superficie di \mathbb{R}^3 definita da un’equazione algebrica di secondo grado nelle tre coordinate:
F(x, y, z) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + 2\mathbf{b}^T \mathbf{x} + c = 0
dove A è una matrice simmetrica 3 \times 3, \mathbf{x} = (x, y, z)^T, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3 e c \in \mathbb{R}.
In forma esplicita, l’equazione generale è:
ax^2 + by^2 + cz^2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + gx + hy + kz + l = 0
Invarianti e riduzione a forma canonica
La classificazione delle quadriche si ottiene tramite gli invarianti della matrice omogenea associata \tilde{A} (la matrice 4\times 4 che include i termini lineari) e della matrice A della parte quadratica:
- I_1 = \mathrm{tr}(A) = a + b + c (primo invariante)
- I_2 = somma dei minori principali 2\times 2 di A
- I_3 = \det(A)
- I_4 = \det(\tilde{A})
I segni di questi invarianti e il rango di A e \tilde{A} determinano il tipo di quadrica.
Con un opportuno cambio di coordinate (traslazione al centro + rotazione che diagonalizza A), ogni quadrica si riduce a forma canonica:
\frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} \pm \frac{z^2}{c^2} = \varepsilon, \quad \text{oppure} \quad \frac{x^2}{a^2} \pm \frac{y^2}{b^2} \pm 2pz = 0
Ellissoide
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \quad (a, b, c > 0)
Superficie chiusa e limitata con tre assi di simmetria. I semi-assi a, b, c sono le semi-ampiezze lungo x, y, z. Se a = b = c, si riduce alla sfera. Le sezioni piane parallele ai piani coordinati sono ellissi (o cerchi). Il volume è V = \frac{4}{3}\pi abc.
Iperboloidi
Iperboloide a una falda (connesso):
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1
Superficie illimitata, connessa, con un “collo” minimo (cerchio o ellisse di raggio a, b nel piano z=0). Le sezioni con piani z = k sono ellissi; le sezioni con x = k o y = k sono iperboli. Contiene due famiglie di rette (è una superficie rigata), proprietà fondamentale in architettura.
Iperboloide a due falde (due componenti connesse):
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1
Due calotte separate dal piano z = 0. Non contiene rette reali.
Paraboloidi
Paraboloide ellittico:
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2pz \quad (p > 0)
Superficie aperta verso l’alto (per p > 0), con minimo nell’origine. Le sezioni con z = k > 0 sono ellissi; le sezioni con x = k o y = k sono parabole.
Paraboloide iperbolico (a sella):
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2pz
Superficie aperta sia verso l’alto sia verso il basso, con punto di sella nell’origine. È una superficie rigata (contiene due famiglie di rette). Le sezioni con z = k \neq 0 sono iperboli; per z = 0 si ottengono due rette.
Cono quadrico
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0
Superficie rigata con singolarità (vertice) nell’origine. È il cono asintotico dell’iperboloide. Le generatrici (rette) partono tutte dal vertice. Le sezioni con z = k \neq 0 sono ellissi.
Cilindri quadrici
I cilindri quadrici mancano di una delle tre variabili nella forma canonica (o equivalentemente hanno I_3 = \det(A) = 0):
| Tipo | Equazione canonica | Nota |
|---|---|---|
| Cilindro ellittico | \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 | direttrici ellittiche, generatrici \parallel z |
| Cilindro iperbolico | \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 | due falde |
| Cilindro parabolico | x^2 = 2py | aperto |
Quadriche degeneri
Le quadriche degeneri si ottengono quando I_4 = \det(\tilde{A}) = 0:
| Tipo | Forma | Esempio |
|---|---|---|
| Cono reale | \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0 | cono con vertice |
| Coppia di piani reali | x^2 - a^2 = 0 | due piani paralleli |
| Piano doppio | x^2 = 0 | piano con molteplicità 2 |
| Quadrica immaginaria | \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} = -1 | nessun punto reale |
| Coppia di piani complessi | x^2 + a^2 = 0 | nessun punto reale |
Applicazioni ingegneristiche
- Architettura e strutture: i gusci a doppia curvatura (cupole, torri a traforo) assumono spesso forme iperboloidi o paraboloidi, che offrono rigidità con quantità minima di materiale. Esempi celebri: Torre di Shukhov (iperboloide), stadi coperti da paraboloidi iperbolici.
- Ottica e antenne: le antenne paraboliche e gli specchi dei telescopi seguono la forma del paraboloide; il fuoco del paraboloide è il punto dove si concentra l’energia.
- Meccanica: i perni sferici e le superfici di contatto tra organi meccanici sono spesso approssimate con ellissoidi (teoria del contatto di Hertz).
- Aerodinamica: le fusoliere e i corpi di rivoluzione aerodinamici hanno sezioni meridiane che si modellano con archi di ellisse o parabola.