Dati due insiemi A e B, il prodotto cartesiano A \times B è l’insieme di tutte le possibili coppie ordinate (a, b) tali che il primo elemento appartenga ad A e il secondo appartenga a B: A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}
Proprietà e Cardinalità
- Non commutatività: In generale A \times B \neq B \times A (poiché l’ordine degli elementi nella coppia è rilevante).
- Cardinalità: Se A ha n elementi e B ha m elementi, allora il prodotto cartesiano ha n \cdot m elementi: |A \times B| = |A| \cdot |B|
- Generalizzazione: Si può estendere a n insiemi, ottenendo n-uple ordinate. Il piano cartesiano \mathbb{R}^2 è il prodotto cartesiano dell’insieme dei numeri reali per se stesso (\mathbb{R} \times \mathbb{R}).
Significato Ingegneristico
- Database Relazionali: La “JOIN” di due tabelle (senza filtri) è concettualmente un prodotto cartesiano. Ogni record della prima tabella viene accoppiato a ogni record della seconda. È un’operazione estremamente dispendiosa computazionalmente e va gestita con cura.
- Sistemi di Controllo e Robotica: Lo spazio delle fasi o lo spazio delle configurazioni di un robot con più articolazioni è spesso modellato come il prodotto cartesiano degli intervalli di movimento di ogni singola giunzione.
- Teoria dei Codici: Un codice a blocchi può essere visto come un sottoinsieme del prodotto cartesiano dell’alfabeto utilizzato (es. \{0, 1\}^n per codici binari di lunghezza n).
Vedi anche: Teoria degli Insiemi, Relazioni.