Il processo di Poisson modella eventi che accadono casualmente nel tempo a tasso costante: arrivi a uno sportello, guasti, chiamate, decadimenti. È il processo stocastico a tempo continuo più importante, legato strettamente alla distribuzione di Poisson e all’esponenziale. Questa scheda allena il conteggio degli eventi e i tempi di interarrivo.
Processo di Poisson di intensità \lambda: il numero di eventi in [0,t] è \;N(t)\sim\text{Poisson}(\lambda t).
1. Numero di eventi in un intervallo
Esercizio. A un centralino arrivano chiamate con tasso \lambda=4 al minuto. Probabilità di esattamente 2 chiamate in 30 secondi?
In t=0{,}5 min il parametro è \lambda t=4\times0{,}5=2:
P(N=2)=\dfrac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!}=\dfrac{2^2 e^{-2}}{2!}=\dfrac{4\times0{,}135}{2}=0{,}271.
Il numero di eventi in un intervallo segue una Poisson di parametro \lambda t (tasso × durata).
2. Probabilità di nessun evento
Esercizio. Per lo stesso processo, probabilità di nessuna chiamata in 1 minuto.
Con \lambda t=4\times1=4:
P(N=0)=\dfrac{4^0 e^{-4}}{0!}=e^{-4}=0{,}018.
Solo l’1{,}8\%: con tasso alto, intervalli vuoti sono rari. P(N=0)=e^{-\lambda t} è anche la base dei tempi di attesa.
3. Tempo di interarrivo
Esercizio. Per il processo con \lambda=4/min, qual è la distribuzione del tempo tra due chiamate consecutive e il tempo medio di attesa?
I tempi di interarrivo di un processo di Poisson sono esponenziali di parametro \lambda:
T\sim\text{Exp}(\lambda),\qquad E[T]=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{4}\ \text{min}=15\ \text{s}.
In media 15 secondi tra una chiamata e l’altra. Il legame Poisson (conteggi) ↔ esponenziale (attese) è la firma del processo.
4. Probabilità sul tempo di attesa
Esercizio. Per lo stesso processo, probabilità che il tempo fino alla prossima chiamata superi 30 secondi.
Per l’esponenziale, P(T>t)=e^{-\lambda t} con t=0{,}5 min:
P(T>0{,}5)=e^{-4\times0{,}5}=e^{-2}=0{,}135.
Coerente con P(N=0) in 30 s: “nessun evento in t” equivale a “tempo di attesa >t”. Le due formulazioni coincidono.
5. Assenza di memoria
Esercizio. Sono già passati 20 secondi senza chiamate. Qual è la probabilità di attendere altri 15 secondi?
L’esponenziale è senza memoria:
P(T>20+15\mid T>20)=P(T>15)=e^{-4\times0{,}25}=e^{-1}=0{,}368.
Il tempo già trascorso non conta: la probabilità di attendere altri 15 s è la stessa che all’inizio. È la proprietà distintiva del processo di Poisson, alla base dei modelli “memoryless”.
6. Somma di processi di Poisson
Esercizio. Due sportelli ricevono clienti come processi di Poisson indipendenti, \lambda_1=3/h e \lambda_2=5/h. Qual è il processo degli arrivi totali?
La somma di processi di Poisson indipendenti è ancora di Poisson, con tasso somma:
\lambda_{tot}=\lambda_1+\lambda_2=3+5=8\ \text{/h}.
Gli arrivi complessivi formano un processo di Poisson di intensità 8/h. La sovrapposizione di flussi indipendenti si “fonde” mantenendo la struttura di Poisson: utile per aggregare sorgenti.
7. Scomposizione casuale (thinning)
Esercizio. Le chiamate arrivano con tasso \lambda=20/h. Ogni chiamata è tecnica con probabilità p=0{,}30, indipendentemente dalle altre. Qual è il processo delle chiamate tecniche?
La selezione indipendente di eventi di un processo di Poisson produce ancora un processo di Poisson, con tasso moltiplicato per p:
Le chiamate non tecniche formano un processo indipendente di tasso:
Questa proprietà è fondamentale nelle code e nelle telecomunicazioni: un flusso di arrivi può essere diviso in classi senza perdere la struttura poissoniana, se la classificazione è indipendente.
8. Distribuzione condizionata dato il totale
Esercizio. In un’ora arrivano in totale 10 chiamate. Se ogni chiamata è tecnica con probabilità 0{,}30, qual è la probabilità che esattamente 4 siano tecniche?
Condizionatamente al totale, il numero di eventi di una classe è binomiale:
Quindi:
Numericamente:
Senza condizionare sul totale si userebbero due Poisson indipendenti; dato il totale, la ripartizione diventa binomiale.
9. Tempo del terzo arrivo
Esercizio. Per un processo di Poisson con \lambda=4/min, qual è la distribuzione del tempo T_3 fino al terzo arrivo e la sua media?
Il tempo del k-esimo arrivo è somma di k esponenziali indipendenti, quindi ha distribuzione Gamma/Erlang:
La media è:
Questa grandezza è diversa dal tempo tra due arrivi consecutivi: non è esponenziale, ma somma di tre attese esponenziali.
10. Processo di Poisson non omogeneo
Esercizio. Un processo ha intensità variabile \lambda(t)=2+t eventi/ora per 0\le t\le2. Calcolare il numero medio di eventi nelle prime 2 ore.
Per un processo non omogeneo il parametro non è \lambda t, ma l’intensità integrata:
Quindi:
e il numero medio è 6. Se il tasso cambia nel tempo, sostituire un tasso medio senza controllo può mascherare la forma reale della domanda.
Errori comuni
- Usare \lambda invece di \lambda t. Il parametro della Poisson sull’intervallo è \lambda t (tasso × durata), non il solo tasso.
- Confondere conteggi e tempi. N(t) è una Poisson (discreta); i tempi di interarrivo sono esponenziali (continui): grandezze diverse.
- Dimenticare l’assenza di memoria. Il tempo già atteso non modifica la distribuzione residua: condizionare su "T>s" non cambia nulla.
- Sommare male i tassi. La sovrapposizione di processi indipendenti somma i tassi \lambda, non li media.
- Dimenticare il condizionamento sul totale. Dato N(t)=n, la ripartizione tra classi è binomiale/multinomiale, non Poisson libera.
- Usare \lambda t nei processi non omogenei. Serve integrare l’intensità: \displaystyle \Lambda(a,b)=\int_a^b\lambda(t)\,dt.