Processo di nascita e morte — ingegnerismo.it

Un processo di nascita e morte è una catena di Markov a tempo continuo su stati interi non negativi $0,1,2,\ldots$ in cui sono ammessi solo salti tra stati adiacenti. Dallo stato $i$ il processo può passare a $i+1$ con tasso di nascita $\lambda_i$ oppure a $i-1$ con tasso di morte $\mu_i$ .

Il modello rappresenta sistemi in cui una popolazione, una coda o un numero di unità operative aumenta o diminuisce di una sola unità alla volta. È alla base di molte code markoviane, modelli di affidabilità riparabile e processi di popolazione.

Al bordo inferiore si assume in genere $\mu_0=0$ , perché dallo stato $0$ non si può scendere a $-1$ .

Generatore infinitesimale

Il processo è descritto dal suo generatore infinitesimale $Q$ , le cui componenti non nulle sono:

q_{i,i+1}=\lambda_i, \qquad q_{i,i-1}=\mu_i, \qquad q_{i,i}=-(\lambda_i+\mu_i).

Tutte le altre transizioni dirette hanno tasso nullo. La struttura tridiagonale del generatore riflette il fatto che il processo cambia stato di una sola unità per volta.

Le equazioni in avanti di Kolmogorov descrivono l’evoluzione delle probabilità $p_i(t)=\Pr\{X_t=i\}$ . Per $i\ge 0$ :

\frac{dp_i(t)}{dt} =\lambda_{i-1}p_{i-1}(t)+\mu_{i+1}p_{i+1}(t)-(\lambda_i+\mu_i)p_i(t),

con i termini impossibili omessi al bordo.

Distribuzione stazionaria

Quando esiste una distribuzione stazionaria $\pi$ , spesso si ricava da relazioni di bilancio locale tra flussi adiacenti:

\pi_i\lambda_i=\pi_{i+1}\mu_{i+1}.

Iterando:

\pi_n=\pi_0\prod_{k=0}^{n-1}\frac{\lambda_k}{\mu_{k+1}}, \qquad n\ge 1.

Il valore di $\pi_0$ si ottiene imponendo la normalizzazione:

\sum_{n=0}^{\infty}\pi_n=1.

Se questa somma non converge, la distribuzione stazionaria normalizzabile non esiste. Questa distinzione è cruciale nelle code: un sistema con tasso medio di arrivo maggiore o uguale alla capacità di servizio tende a crescere senza stabilizzarsi.

Esempi

Una coda $M/M/1$ è un processo di nascita e morte con $\lambda_i=\lambda$ per gli arrivi e $\mu_i=\mu$ per il servizio quando $i\ge 1$ . È stabile solo se:

\rho=\frac{\lambda}{\mu}<1.

Un processo di pura nascita ha $\mu_i=0$ ; un processo di Poisson omogeneo può essere visto come un caso particolare in cui le nascite avvengono con tasso costante e non sono previste morti.

Uso e limiti

Il modello è adatto quando gli eventi cambiano lo stato di una sola unità e i tassi dipendono solo dallo stato corrente, non dalla storia completa. È meno adatto se gli eventi avvengono in blocchi, se i tempi di permanenza non sono esponenziali o se il sistema ha memoria. In quei casi servono modelli semi-markoviani, catene con salti multipli o descrizioni con stato ampliato.