Nello spazio euclideo \mathbb{R}^3, due enti geometrici (rette o piani) possono trovarsi in diverse posizioni reciproche. La classificazione si determina analiticamente tramite il rango di sistemi di equazioni e tramite prodotti scalari e vettoriali.
Posizioni reciproche tra due rette
Siano r ed s due rette con vettori direttori \vec{d}_1 e \vec{d}_2 e punti distinti P_1 \in r, P_2 \in s.
| Posizione | Condizione | Caratteristiche |
|---|---|---|
| Coincidenti | \vec{d}_1 \parallel \vec{d}_2 e P_2 - P_1 \parallel \vec{d}_1 | stessa retta |
| Parallele | \vec{d}_1 \parallel \vec{d}_2 e P_2 - P_1 \not\parallel \vec{d}_1 | piano comune, nessun punto in comune |
| Incidenti | \vec{d}_1 \not\parallel \vec{d}_2 e \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 \cdot (P_2 - P_1) = 0 | un punto in comune, giacciono in un piano |
| Sghembe | \vec{d}_1 \not\parallel \vec{d}_2 e \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 \cdot (P_2 - P_1) \neq 0 | nessun punto in comune, non complanari |
Il criterio operativo si basa sul prodotto misto [\vec{d}_1,\, \vec{d}_2,\, P_2 - P_1] = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 \cdot (P_2 - P_1): se è nullo le rette sono complanari (coincidenti, parallele o incidenti); se non è nullo sono sghembe.
Angolo tra due rette: l’angolo \theta \in [0°, 90°] tra r e s è:
\cos\theta = \frac{|\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2|}{|\vec{d}_1||\vec{d}_2|}
Le rette sono perpendicolari se \vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2 = 0, parallele se \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \vec{0}.
Posizioni reciproche tra retta e piano
Siano r una retta con vettore direttore \vec{d} e \pi un piano con vettore normale \vec{n} e equazione \vec{n}\cdot\vec{x} = c.
| Posizione | Condizione | Note |
|---|---|---|
| Retta giacente nel piano | \vec{d} \perp \vec{n} e P \in \pi | tutti i punti di r soddisfano \pi |
| Retta parallela al piano | \vec{d} \perp \vec{n} e P \notin \pi | \vec{d} \cdot \vec{n} = 0 ma \vec{n}\cdot P \neq c |
| Retta incidente (secante) | \vec{d} \cdot \vec{n} \neq 0 | un unico punto di intersezione |
Angolo tra retta e piano: l’angolo \alpha \in [0°, 90°] tra r e \pi è il complemento dell’angolo tra \vec{d} e \vec{n}:
\sin\alpha = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{|\vec{d}||\vec{n}|}
Posizioni reciproche tra due piani
Siano \pi_1: \vec{n}_1\cdot\vec{x} = c_1 e \pi_2: \vec{n}_2\cdot\vec{x} = c_2.
| Posizione | Condizione |
|---|---|
| Coincidenti | \vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2 e c_1/\lvert\vec{n}_1\rvert = c_2/\lvert\vec{n}_2\rvert |
| Paralleli distinti | \vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2 e c_1/\lvert\vec{n}_1\rvert \neq c_2/\lvert\vec{n}_2\rvert |
| Secanti | \vec{n}_1 \not\parallel \vec{n}_2 |
Angolo diedro tra due piani secanti:
\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}
La retta di intersezione di due piani secanti ha vettore direttore \vec{d} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2.
Rette sghembe: distanza e perpendicolare comune
La distanza tra due rette sghembe r e s (vettori direttori \vec{d}_1, \vec{d}_2, punti P_1, P_2) è:
d(r, s) = \frac{|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2 \cdot (P_2 - P_1)|}{|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2|}
La perpendicolare comune è la retta che interseca perpendicolarmente entrambe r e s. Il suo vettore direttore è \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 e i punti di intersezione si trovano risolvendo un sistema 2 \times 2.
Fasci di piani e stelle di rette
Un fascio di piani è l’insieme di tutti i piani che contengono una retta fissa r (asse del fascio). Se \pi_1 e \pi_2 sono due piani del fascio, ogni piano del fascio ha equazione:
\lambda(\vec{n}_1\cdot\vec{x} - c_1) + \mu(\vec{n}_2\cdot\vec{x} - c_2) = 0 \quad (\lambda, \mu) \neq (0,0)
Una stella di rette è l’insieme di tutte le rette passanti per un punto fisso. Insieme ai fasci di piani, costituisce la struttura delle dualità proiettive nello spazio.
Applicazioni ingegneristiche
- Progettazione meccanica: la verifica di interferenza tra componenti richiede di determinare se due spigoli (rette) sono sghembi o incidenti.
- Topografia e geodesia: il calcolo di distanze e angoli tra elementi lineari nello spazio è alla base dei rilievi tridimensionali.
- Grafica 3D e ray tracing: l’intersezione retta–piano è il calcolo fondamentale per determinare dove un raggio colpisce una superficie.
- Robotica: la cinematica Denavit–Hartenberg usa sistemi di rette e piani per descrivere le articolazioni di un manipolatore.