Posizioni Reciproche nello Spazio

Voci di Glossario Geometria
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    Nello spazio euclideo R3\mathbb{R}^3, due enti geometrici (rette o piani) possono trovarsi in diverse posizioni reciproche. La classificazione si determina analiticamente tramite il rango di sistemi di equazioni e tramite prodotti scalari e vettoriali.

    Posizioni reciproche tra due rette

    Siano rr ed ss due rette con vettori direttori d⃗1\vec{d}_1 e d⃗2\vec{d}_2 e punti distinti P1∈rP_1 \in r, P2∈sP_2 \in s.

    PosizioneCondizioneCaratteristiche
    Coincidentid⃗1∥d⃗2\vec{d}_1 \parallel \vec{d}_2 e P2−P1∥d⃗1P_2 - P_1 \parallel \vec{d}_1stessa retta
    Paralleled⃗1∥d⃗2\vec{d}_1 \parallel \vec{d}_2 e P2−P1∦d⃗1P_2 - P_1 \not\parallel \vec{d}_1piano comune, nessun punto in comune
    Incidentid⃗1∦d⃗2\vec{d}_1 \not\parallel \vec{d}_2 e d⃗1×d⃗2⋅(P2−P1)=0\vec{d}_1 \times \vec{d}_2 \cdot (P_2 - P_1) = 0un punto in comune, giacciono in un piano
    Sghembed⃗1∦d⃗2\vec{d}_1 \not\parallel \vec{d}_2 e d⃗1×d⃗2⋅(P2−P1)≠0\vec{d}_1 \times \vec{d}_2 \cdot (P_2 - P_1) \neq 0nessun punto in comune, non complanari

    Il criterio operativo si basa sul prodotto misto [d⃗1, d⃗2, P2−P1]=d⃗1×d⃗2⋅(P2−P1)[\vec{d}_1,\, \vec{d}_2,\, P_2 - P_1] = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 \cdot (P_2 - P_1): se è nullo le rette sono complanari (coincidenti, parallele o incidenti); se non è nullo sono sghembe.

    Angolo tra due rette: l’angolo θ∈[0°,90°]\theta \in [0°, 90°] tra rr e ss è:

    cos⁡θ=∣d⃗1⋅d⃗2∣∣d⃗1∣∣d⃗2∣\cos\theta = \frac{|\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2|}{|\vec{d}_1||\vec{d}_2|}

    Le rette sono perpendicolari se d⃗1⋅d⃗2=0\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2 = 0, parallele se d⃗1×d⃗2=0⃗\vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \vec{0}.

    Posizioni reciproche tra retta e piano

    Siano rr una retta con vettore direttore d⃗\vec{d} e π\pi un piano con vettore normale n⃗\vec{n} e equazione n⃗⋅x⃗=c\vec{n}\cdot\vec{x} = c.

    PosizioneCondizioneNote
    Retta giacente nel pianod⃗⊥n⃗\vec{d} \perp \vec{n} e P∈πP \in \pitutti i punti di rr soddisfano π\pi
    Retta parallela al pianod⃗⊥n⃗\vec{d} \perp \vec{n} e P∉πP \notin \pid⃗⋅n⃗=0\vec{d} \cdot \vec{n} = 0 ma n⃗⋅P≠c\vec{n}\cdot P \neq c
    Retta incidente (secante)d⃗⋅n⃗≠0\vec{d} \cdot \vec{n} \neq 0un unico punto di intersezione

    Angolo tra retta e piano: l’angolo α∈[0°,90°]\alpha \in [0°, 90°] tra rr e π\pi è il complemento dell’angolo tra d⃗\vec{d} e n⃗\vec{n}:

    sin⁡α=∣d⃗⋅n⃗∣∣d⃗∣∣n⃗∣\sin\alpha = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{|\vec{d}||\vec{n}|}

    Posizioni reciproche tra due piani

    Siano π1:n⃗1⋅x⃗=c1\pi_1: \vec{n}_1\cdot\vec{x} = c_1 e π2:n⃗2⋅x⃗=c2\pi_2: \vec{n}_2\cdot\vec{x} = c_2.

    PosizioneCondizione
    Coincidentin⃗1∥n⃗2\vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2 e $c_1/
    Paralleli distintin⃗1∥n⃗2\vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2 e $c_1/
    Secantin⃗1∦n⃗2\vec{n}_1 \not\parallel \vec{n}_2

    Angolo diedro tra due piani secanti:

    cos⁡θ=∣n⃗1⋅n⃗2∣∣n⃗1∣∣n⃗2∣\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}

    La retta di intersezione di due piani secanti ha vettore direttore d⃗=n⃗1×n⃗2\vec{d} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2.

    Rette sghembe: distanza e perpendicolare comune

    La distanza tra due rette sghembe rr e ss (vettori direttori d⃗1\vec{d}_1, d⃗2\vec{d}_2, punti P1P_1, P2P_2) è:

    d(r,s)=∣d⃗1×d⃗2⋅(P2−P1)∣∣d⃗1×d⃗2∣d(r, s) = \frac{|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2 \cdot (P_2 - P_1)|}{|\vec{d}_1 \times \vec{d}_2|}

    La perpendicolare comune è la retta che interseca perpendicolarmente entrambe rr e ss. Il suo vettore direttore è d⃗1×d⃗2\vec{d}_1 \times \vec{d}_2 e i punti di intersezione si trovano risolvendo un sistema 2×22 \times 2.

    Fasci di piani e stelle di rette

    Un fascio di piani è l’insieme di tutti i piani che contengono una retta fissa rr (asse del fascio). Se π1\pi_1 e π2\pi_2 sono due piani del fascio, ogni piano del fascio ha equazione:

    λ(n⃗1⋅x⃗−c1)+μ(n⃗2⋅x⃗−c2)=0(λ,μ)≠(0,0)\lambda(\vec{n}_1\cdot\vec{x} - c_1) + \mu(\vec{n}_2\cdot\vec{x} - c_2) = 0 \quad (\lambda, \mu) \neq (0,0)

    Una stella di rette è l’insieme di tutte le rette passanti per un punto fisso. Insieme ai fasci di piani, costituisce la struttura delle dualità proiettive nello spazio.

    Applicazioni ingegneristiche

    • Progettazione meccanica: la verifica di interferenza tra componenti richiede di determinare se due spigoli (rette) sono sghembi o incidenti.
    • Topografia e geodesia: il calcolo di distanze e angoli tra elementi lineari nello spazio è alla base dei rilievi tridimensionali.
    • Grafica 3D e ray tracing: l’intersezione retta–piano è il calcolo fondamentale per determinare dove un raggio colpisce una superficie.
    • Robotica: la cinematica Denavit–Hartenberg usa sistemi di rette e piani per descrivere le articolazioni di un manipolatore.

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