Un poliedro è un solido geometrico limitato da un numero finito di facce poligonali piane. Le facce si incontrano lungo spigoli e gli spigoli si incontrano in vertici.
Formula di Eulero
Per ogni poliedro convesso vale la relazione:
dove è il numero di vertici, il numero di spigoli, il numero di facce. È un invariante topologico fondamentale.
I poliedri regolari (solidi platonici) soddisfano ulteriori simmetrie. Vedi: Solidi Platonici.
Principio di Cavalieri
Due solidi di uguale altezza con sezioni piane sempre congruenti alla stessa quota hanno lo stesso volume. Giustifica le formule di volume per poliedri obliqui, prismi e piramidi.
Applicazioni ingegneristiche
- Ingegneria strutturale: le sezioni trasversali dei profilati metallici hanno geometrie prismatiche; il calcolo del volume determina la massa per unità di lunghezza.
- Architettura: le cupole geodetiche (basate su poliedri) ottimizzano il rapporto volume/superficie.
- CAD/FEM: le mesh di volume usano tetraedri ed esaedri (poliedri) come elementi di base.