Una funzione f: \Omega \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C} è olomorfa (o analitica complessa) in un punto z_0 se è derivabile in senso complesso in un intorno di z_0: f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} \in \mathbb{C}
Equazioni di Cauchy-Riemann
Scrivendo f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y), l’olomorfia equivale alla soddisfazione delle equazioni di Cauchy-Riemann con u, v differenziabili: \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
Proprietà Fondamentali
Le funzioni olomorfe godono di proprietà molto più forti rispetto alle funzioni reali derivabili:
- Analiticità: ogni funzione olomorfa è localmente somma della propria serie di Taylor; essere C^1 in senso complesso implica essere C^\infty.
- Teorema di Cauchy: l’integrale su ogni curva chiusa contrattibile è zero.
- Principio del massimo modulo: |f| non può avere massimi locali all’interno del dominio.
- Teorema di Liouville: una funzione intera (olomorfa su tutto \mathbb{C}) e limitata è costante.
Funzioni Armoniche
Le parti reale u e immaginaria v di una funzione olomorfa sono funzioni armoniche (\Delta u = \Delta v = 0) e si dicono coniugate armoniche l’una dell’altra.
Esempi
Sono olomorfe: e^z, \sin z, \cos z, i polinomi in z, \ln z (fuori dall’asse reale negativo). Non è olomorfa \overline{z} (coniugato complesso).