Olomorfia

Una funzione $f: \Omega \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ è olomorfa (o analitica complessa) in un punto $z_0$ se è derivabile in senso complesso in un intorno di $z_0$: $f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} \in \mathbb{C}$

Equazioni di Cauchy-Riemann

Scrivendo $f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$, l’olomorfia equivale alla soddisfazione delle equazioni di Cauchy-Riemann con $u, v$ differenziabili: $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

Proprietà Fondamentali

Le funzioni olomorfe godono di proprietà molto più forti rispetto alle funzioni reali derivabili:

• Analiticità: ogni funzione olomorfa è localmente somma della propria serie di Taylor; essere $C^1$ in senso complesso implica essere $C^\infty$.
• Teorema di Cauchy: l’integrale su ogni curva chiusa contrattibile è zero.
• Principio del massimo modulo: $|f|$ non può avere massimi locali all’interno del dominio.
• Teorema di Liouville: una funzione intera (olomorfa su tutto $\mathbb{C}$) e limitata è costante.

Funzioni Armoniche

Le parti reale $u$ e immaginaria $v$ di una funzione olomorfa sono funzioni armoniche ($\Delta u = \Delta v = 0$) e si dicono coniugate armoniche l’una dell’altra.

Esempi

Sono olomorfe: $e^z$, $\sin z$, $\cos z$, i polinomi in $z$, $\ln z$ (fuori dall’asse reale negativo). Non è olomorfa $\overline{z}$ (coniugato complesso).