Momento Centrato

Il momento centrato di ordine $k$ di una variabile aleatoria $X$ è il valore atteso della differenza tra la variabile e la sua media $\mu = E[X]$, elevata alla potenza $k$: $\mu_k = E[(X - \mu)^k]$

Significato dei Primi Momenti Centrati

• Ordine $k=1$: È sempre nullo ($\mu_1 = 0$), poiché la somma degli scarti dalla media pesati con le probabilità si annulla per definizione.
• Ordine $k=2$: Corrisponde alla Varianza. Misura la dispersione complessiva dei dati.
• Ordine $k=3$: È legato all’asimmetria della distribuzione. Se la distribuzione è simmetrica rispetto alla media, tutti i momenti centrati di ordine dispari (incluso il terzo) sono nulli.
• Ordine $k=4$: È legato all’appontamento o “pesantezza delle code” della distribuzione.

Relazione con i Momenti Ordinari

Esiste una relazione (derivata dallo sviluppo del binomio di Newton) che permette di calcolare i momenti centrati a partire dai momenti ordinari: $\mu_k = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (-1)^{k-j} \mu'_j \mu^{k-j}$

Significato Ingegneristico

In ambito tecnico, l’uso dei momenti centrati è preferibile a quello dei momenti ordinari perché fornisce informazioni sulla forma e sulla variabilità del fenomeno indipendentemente dal valore di riferimento (offset).

• Analisi delle Vibrazioni: Si studiano i momenti centrati superiori del segnale di accelerazione per identificare l’insorgenza di cricche o difetti che alterano la simmetria o la “pulizia” del moto armonico.
• Meteorologia: Nello studio delle raffiche di vento, si analizzano i momenti centrati per capire quanto i picchi si discostino dalla velocità media del vento.

Vedi anche: Momento Statistico, Varianza, Asimmetria Statistica.