Il momento centrato di ordine k di una variabile aleatoria X è il valore atteso della differenza tra la variabile e la sua media \mu = E[X], elevata alla potenza k: \mu_k = E[(X - \mu)^k]
Significato dei Primi Momenti Centrati
- Ordine k=1: È sempre nullo (\mu_1 = 0), poiché la somma degli scarti dalla media pesati con le probabilità si annulla per definizione.
- Ordine k=2: Corrisponde alla Varianza. Misura la dispersione complessiva dei dati.
- Ordine k=3: È legato all’asimmetria della distribuzione. Se la distribuzione è simmetrica rispetto alla media, tutti i momenti centrati di ordine dispari (incluso il terzo) sono nulli.
- Ordine k=4: È legato all’appontamento o “pesantezza delle code” della distribuzione.
Relazione con i Momenti Ordinari
Esiste una relazione (derivata dallo sviluppo del binomio di Newton) che permette di calcolare i momenti centrati a partire dai momenti ordinari: \mu_k = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (-1)^{k-j} \mu'_j \mu^{k-j}
Significato Ingegneristico
In ambito tecnico, l’uso dei momenti centrati è preferibile a quello dei momenti ordinari perché fornisce informazioni sulla forma e sulla variabilità del fenomeno indipendentemente dal valore di riferimento (offset).
- Analisi delle Vibrazioni: Si studiano i momenti centrati superiori del segnale di accelerazione per identificare l’insorgenza di cricche o difetti che alterano la simmetria o la “pulizia” del moto armonico.
- Meteorologia: Nello studio delle raffiche di vento, si analizzano i momenti centrati per capire quanto i picchi si discostino dalla velocità media del vento.
Vedi anche: Momento Statistico, Varianza, Asimmetria Statistica.