Metodo di Simpson — ingegnerismo.it

Il metodo di Simpson (o regola di Cavalieri-Simpson) è una tecnica di integrazione numerica più precisa rispetto al metodo dei trapezi. Esso approssima la funzione tramite polinomi di secondo grado (parabole) che passano per tre punti consecutivi.

Formula Composita

Per applicare il metodo, l’intervallo $[a, b]$ deve essere diviso in un numero pari $n$ di sottointervalli di ampiezza $h$ : $\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4 \sum_{i \text{ dispari}} f(x_i) + 2 \sum_{i \text{ pari}} f(x_i) + f(b) \right]$

Errore e Precisione

L’errore del metodo di Simpson è proporzionale a $h^4$ e alla derivata quarta della funzione. Sorprendentemente, il metodo è esatto per tutti i polinomi di grado fino a tre (non solo due).

Significato Ingegneristico

Architettura Navale: Storicamente usato per calcolare il dislocamento e la stabilità delle carene delle navi a partire dalle ordinate di costruzione.
Ingegneria Civile: Calcolo di volumi di scavo e riporto per infrastrutture stradali e ferroviarie.
Calcolo Scientifico: Rappresenta un ottimo compromesso tra semplicità implementativa ed elevata precisione per l’integrazione di segnali “puliti” e funzioni regolari.