Metodi Numerici per Equazioni Non Lineari

I metodi numerici per equazioni non lineari permettono di trovare approssimazioni delle radici di $f(x) = 0$ quando la soluzione esatta non è disponibile in forma chiusa.

Metodo delle Secanti

Generalizzazione di Newton che non richiede il calcolo della derivata. Dati due punti $x_{n-1}$ e $x_n$: $x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}$

Converge con ordine $\approx 1.618$ (sezione aurea). Meno rapido di Newton, ma più robusto se $f'$ è difficile da calcolare.

Metodo Regula Falsi (Falsa Posizione)

Come il metodo delle secanti, ma si mantiene sempre un intervallo $[a,b]$ con $f(a)f(b) < 0$: $x_{n+1} = \frac{a_n f(b_n) - b_n f(a_n)}{f(b_n) - f(a_n)}$

Garantisce la convergenza (come la bisezione) ma converge più lentamente.

Metodo del Punto Fisso

Si riscrive $f(x) = 0$ come $x = g(x)$ e si itera $x_{n+1} = g(x_n)$.

Teorema di Banach-Caccioppoli (contrazione): se $g: [a,b] \to [a,b]$ è una contrazione ($|g'(x)| \leq L < 1$ per ogni $x$), allora l’iterazione converge all’unico punto fisso.

Ordine di Convergenza

L’errore $e_n = x_n - x^*$ soddisfa asintoticamente: $|e_{n+1}| \approx C\,|e_n|^p$

Il valore $p$ è l’ordine di convergenza:

• Bisezione: $p = 1$ (convergenza lineare, lenta ma robusta)
• Secanti: $p \approx 1.618$
• Newton: $p = 2$ (convergenza quadratica, se $f'(x^*) \neq 0$)
• Newton con radici multiple di molteplicità $m$: $p = 1$ (degrada a lineare)