I metodi numerici per equazioni non lineari permettono di trovare approssimazioni delle radici di f(x) = 0 quando la soluzione esatta non è disponibile in forma chiusa.
Metodo delle Secanti
Generalizzazione di Newton che non richiede il calcolo della derivata. Dati due punti x_{n-1} e x_n: x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}
Converge con ordine \approx 1.618 (sezione aurea). Meno rapido di Newton, ma più robusto se f' è difficile da calcolare.
Metodo Regula Falsi (Falsa Posizione)
Come il metodo delle secanti, ma si mantiene sempre un intervallo [a,b] con f(a)f(b) < 0: x_{n+1} = \frac{a_n f(b_n) - b_n f(a_n)}{f(b_n) - f(a_n)}
Garantisce la convergenza (come la bisezione) ma converge più lentamente.
Metodo del Punto Fisso
Si riscrive f(x) = 0 come x = g(x) e si itera x_{n+1} = g(x_n).
Teorema di Banach-Caccioppoli (contrazione): se g: [a,b] \to [a,b] è una contrazione (|g'(x)| \leq L < 1 per ogni x), allora l’iterazione converge all’unico punto fisso.
Ordine di Convergenza
L’errore e_n = x_n - x^* soddisfa asintoticamente: |e_{n+1}| \approx C\,|e_n|^p
Il valore p è l’ordine di convergenza:
- Bisezione: p = 1 (convergenza lineare, lenta ma robusta)
- Secanti: p \approx 1.618
- Newton: p = 2 (convergenza quadratica, se f'(x^*) \neq 0)
- Newton con radici multiple di molteplicità m: p = 1 (degrada a lineare)