Il logaritmo complesso è l’inversa della funzione esponenziale complessa. A differenza del logaritmo reale, non è una funzione univoca ma una funzione polidroma (multivalore).
Definizione
Dato z = \rho e^{i\theta}, il logaritmo è definito come: \ln(z) = \ln|z| + i(\text{arg}(z) + 2k\pi) \quad \text{con } k \in \mathbb{Z} dove \ln|z| è il logaritmo reale del modulo.
Ramo Principale
Per rendere il logaritmo una funzione a valore singolo, si sceglie un ramo principale restringendo l’argomento in un intervallo di ampiezza 2\pi, solitamente (-\pi, \pi]. In questo caso si indica con \text{Ln}(z).
Significato Ingegneristico
- Analisi della Risposta in Frequenza: Il calcolo del guadagno in decibel (dB = 20 \log_{10} |H|) e della fase è legato alle parti reale e immaginaria del logaritmo della funzione di trasferimento.
- Sistemi Dinamici: Viene utilizzato per linearizzare sistemi non lineari esponenziali e per studiare i tempi di assestamento e le costanti di tempo.
- Mappe Conformi: Il logaritmo trasforma coordinate polari (cerchi e raggi) in coordinate cartesiane (linee parallele), semplificando la risoluzione di problemi di potenziale in geometrie circolari.
- Analisi dei Fasori: Permette di eseguire divisioni e potenze di fasori tramite semplici sottrazioni e moltiplicazioni.