Logaritmo Complesso — ingegnerismo.it

Il logaritmo complesso è l’inversa della funzione esponenziale complessa. A differenza del logaritmo reale, non è una funzione univoca ma una funzione polidroma (multivalore).

Definizione

Dato $z = \rho e^{i\theta}$ , il logaritmo è definito come: $\ln(z) = \ln|z| + i(\text{arg}(z) + 2k\pi) \quad \text{con } k \in \mathbb{Z}$ dove $\ln|z|$ è il logaritmo reale del modulo.

Ramo Principale

Per rendere il logaritmo una funzione a valore singolo, si sceglie un ramo principale restringendo l’argomento in un intervallo di ampiezza $2\pi$ , solitamente $(-\pi, \pi]$ . In questo caso si indica con $\text{Ln}(z)$ .

Significato Ingegneristico

Analisi della Risposta in Frequenza: Il calcolo del guadagno in decibel ( $dB = 20 \log_{10} |H|$ ) e della fase è legato alle parti reale e immaginaria del logaritmo della funzione di trasferimento.
Sistemi Dinamici: Viene utilizzato per linearizzare sistemi non lineari esponenziali e per studiare i tempi di assestamento e le costanti di tempo.
Mappe Conformi: Il logaritmo trasforma coordinate polari (cerchi e raggi) in coordinate cartesiane (linee parallele), semplificando la risoluzione di problemi di potenziale in geometrie circolari.
Analisi dei Fasori: Permette di eseguire divisioni e potenze di fasori tramite semplici sottrazioni e moltiplicazioni.