Una successione a_n è una funzione definita sugli interi n=1,2,3,\dots; il suo limite descrive il comportamento per n\to+\infty. Molte tecniche dei limiti di funzione si trasferiscono, ma compaiono oggetti tipici del discreto — il fattoriale n! e la radice n-esima \sqrt[n]{a_n} — con la loro gerarchia.
La gerarchia degli infiniti, estesa al fattoriale:
\ln n\ \ll\ n^a\ (a>0)\ \ll\ b^n\ (b>1)\ \ll\ n!\ \ll\ n^n.
Cioè il fattoriale batte ogni esponenziale, ma è battuto da n^n. Limiti notevoli discreti: \sqrt[n]{n}\to 1 e \displaystyle \left(1+\dfrac{a}{n}\right)^n\to e^a.
Esercizio 1 — La radice n-esima di n
Calcolare \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{n}.
È un limite notevole. Lo si conferma passando al logaritmo: \displaystyle \ln\sqrt[n]{n}=\dfrac{\ln n}{n}\to 0 (la gerarchia dà \ln n\ll n), quindi \displaystyle \sqrt[n]{n}=e^{\dfrac{\ln n}{n}}\to e^0=1:
\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{n}=1.
Esercizio 2 — Fattoriale contro potenza
Calcolare \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n!}{n^n}.
Confrontiamo n!=1\cdot2\cdots n con n^n=n\cdot n\cdots n (n fattori ciascuno). Scrivendo il rapporto come prodotto di frazioni:
\dfrac{n!}{n^n}=\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{2}{n}\cdots\dfrac{n}{n}.
Ogni fattore è \leq 1, e il primo è \dfrac{1}{n}\to 0. Più precisamente \displaystyle 0<\dfrac{n!}{n^n}\leq\dfrac{1}{n}\to 0, quindi per il teorema del confronto:
\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n!}{n^n}=0.
(Conferma della gerarchia n!\ll n^n.)
Esercizio 3 — La forma (1+a/n)^n
Calcolare \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{2}{n}\right)^n.
È il notevole \left(1+\dfrac{1}{m}\right)^m\to e. Posto \displaystyle m=\dfrac{n}{2} (così \dfrac{2}{n}=\dfrac{1}{m} e n=2m):
\left(1+\dfrac{2}{n}\right)^n=\left(1+\dfrac{1}{m}\right)^{2m}=\left[\left(1+\dfrac{1}{m}\right)^{m}\right]^2\xrightarrow{m\to+\infty}e^2.
In generale \displaystyle \left(1+\dfrac{a}{n}\right)^n\to e^a.
Esercizio 4 — Esponenziale contro fattoriale
Calcolare \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{2^n}{n!}.
Per la gerarchia, n! batte b^n: il limite è 0. Lo si vede anche col rapporto tra termini consecutivi:
Quindi la successione (a termini positivi) tende a 0:
\lim_{n\to+\infty}\dfrac{2^n}{n!}=0.
Esercizio 5 — Rapporto di polinomi in n
Calcolare \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{n^2+1}{2n^2-n}.
Come per le funzioni razionali, si raccoglie la potenza dominante n^2:
\dfrac{n^2+1}{2n^2-n}=\dfrac{1+\dfrac{1}{n^2}}{2-\dfrac{1}{n}}\xrightarrow{n\to+\infty}\dfrac{1}{2}.
Conta il rapporto dei coefficienti dei termini di grado massimo: \dfrac{1}{2}.
Esercizio 6 — Radice n-esima di una somma di esponenziali
Calcolare \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{2^n+3^n}.
Si raccoglie la base maggiore (3^n) sotto radice:
\sqrt[n]{2^n+3^n}=\sqrt[n]{3^n\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+1\right)}=3\cdot\sqrt[n]{\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+1}.
Poiché \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\to 0, il radicando tende a 1 e la sua radice n-esima pure (tende a 1). Quindi:
\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{2^n+3^n}=3\cdot 1=3.
In generale \sqrt[n]{a^n+b^n}\to\max(a,b).
Esercizio 7 — Radice n-esima e logaritmo
Calcolare, per a>0, \displaystyle\lim_{n\to+\infty}n\left(\sqrt[n]{a}-1\right).
Scriviamo la radice tramite l’esponenziale:
Allora
Ponendo t_n=\dfrac{\ln a}{n}\to0, si usa il notevole \dfrac{e^t-1}{t}\to1:
Quindi
Il caso a=1 dà correttamente 0: la successione è identicamente nulla.
Esercizio 8 — Una forma di Nepero che diverge
Calcolare \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}.
La base tende a 1 e l’esponente a +\infty, ma l’esponente è più grande del caso notevole. Passiamo al logaritmo:
Poiché
si ha \ln a_n\sim n\to+\infty. Dunque
Non basta riconoscere la forma 1^\infty: bisogna controllare la scala dell’esponente.
Esercizio 9 — Media aritmetica e criterio di Stolz
Calcolare \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1+2+\cdots+n}{n^2}.
La formula della somma dà subito
Lo stesso risultato si legge con il criterio di Stolz-Cesàro. Posto
con B_n crescente e divergente, si confrontano gli incrementi:
Quindi anche \dfrac{A_n}{B_n}\to\dfrac{1}{2}. Stolz è utile quando la somma non ha una formula chiusa immediata.
Sintesi: tecniche per le successioni
- Gerarchia discreta: \ln n\ll n^a\ll b^n\ll n!\ll n^n. È la prima cosa da guardare nei rapporti: vince l’ordine superiore.
- Rapporti di polinomi in n: come per le funzioni, conta il grado massimo (rapporto dei coefficienti direttori).
- Radice n-esima: passare al logaritmo (\displaystyle \sqrt[n]{a_n}=e^{\dfrac{\ln a_n}{n}}) oppure raccogliere il termine dominante; ricordare \sqrt[n]{n}\to 1 e \sqrt[n]{a^n+b^n}\to\max(a,b).
- Criterio del rapporto: se \displaystyle \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to L<1 (termini positivi), allora a_n\to 0; utile per rapporti con fattoriali ed esponenziali.
- Forma \displaystyle \left(1+\dfrac{a}{n}\right)^n\to e^a: il notevole di Nepero in versione discreta.
- Potenze del tipo 1^\infty: studiare sempre il logaritmo; se l’esponente cresce più velocemente di n, il limite può divergere.
- Stolz-Cesàro: per rapporti tra somme e quantità divergenti, il rapporto degli incrementi spesso sostituisce una formula esplicita.
I limiti di successione sono alla base dello studio delle serie e ricalcano, con gli adattamenti del discreto, le tecniche dei limiti di funzione.