Il limite di f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} per \mathbf{x} \to \mathbf{x}_0 vale L se: \forall\,\varepsilon > 0,\ \exists\,\delta > 0 : 0 < \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta \implies |f(\mathbf{x}) - L| < \varepsilon
A differenza di \mathbb{R}, in \mathbb{R}^n con n \geq 2 ci sono infiniti modi di avvicinarsi a \mathbf{x}_0.
Tecnica della Restrizione
Per dimostrare che un limite non esiste: si trovano due curve \gamma_1, \gamma_2 tendenti a \mathbf{x}_0 tali che \lim_{\gamma_1} f \neq \lim_{\gamma_2} f.
Esempio: f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}. Lungo y = 0: limite = 0; lungo y = x: limite = \frac{1}{2}. Quindi il limite in (0,0) non esiste.
Coordinate Polari per il Calcolo dei Limiti
Ponendo x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, se f(r,\theta) \to L per r \to 0 uniformemente in \theta, allora \lim_{(x,y)\to(0,0)} f = L.
Attenzione: se il limite in r dipende da \theta, il limite non esiste.
Continuità in Più Variabili
f è continua in \mathbf{x}_0 se \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0} f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}_0).
Teorema di Weierstrass in \mathbb{R}^n: se f è continua su un compatto K \subseteq \mathbb{R}^n, allora f raggiunge massimo e minimo assoluti su K.
Criteri Pratici
I teoremi dell’algebra dei limiti e del confronto valgono anche in \mathbb{R}^n. La continuità si conserva per composizione di funzioni continue.