Limiti e Continuità in Più Variabili

Il limite di $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ per $\mathbf{x} \to \mathbf{x}_0$ vale $L$ se: $\forall\,\varepsilon > 0,\ \exists\,\delta > 0 : 0 < \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \delta \implies |f(\mathbf{x}) - L| < \varepsilon$

A differenza di $\mathbb{R}$, in $\mathbb{R}^n$ con $n \geq 2$ ci sono infiniti modi di avvicinarsi a $\mathbf{x}_0$.

Tecnica della Restrizione

Per dimostrare che un limite non esiste: si trovano due curve $\gamma_1, \gamma_2$ tendenti a $\mathbf{x}_0$ tali che $\lim_{\gamma_1} f \neq \lim_{\gamma_2} f$.

Esempio: $f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$. Lungo $y = 0$: limite $= 0$; lungo $y = x$: limite $= \frac{1}{2}$. Quindi il limite in $(0,0)$ non esiste.

Coordinate Polari per il Calcolo dei Limiti

Ponendo $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, se $f(r,\theta) \to L$ per $r \to 0$ uniformemente in $\theta$, allora $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f = L$.

Attenzione: se il limite in $r$ dipende da $\theta$, il limite non esiste.

Continuità in Più Variabili

$f$ è continua in $\mathbf{x}_0$ se $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{x}_0} f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}_0)$.

Teorema di Weierstrass in $\mathbb{R}^n$: se $f$ è continua su un compatto $K \subseteq \mathbb{R}^n$, allora $f$ raggiunge massimo e minimo assoluti su $K$.

Criteri Pratici

I teoremi dell’algebra dei limiti e del confronto valgono anche in $\mathbb{R}^n$. La continuità si conserva per composizione di funzioni continue.