Limiti: forme indeterminate

Una forma indeterminata è un’espressione il cui limite non si decide guardando solo i limiti dei pezzi: $\dfrac{0}{0}$ , $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ , $\infty-\infty$ , $0\cdot\infty$ , $1^\infty$ , $0^0$ , $\infty^0$ . Questa scheda raccoglie le tecniche algebriche per scioglierle (raccoglimento, scomposizione, razionalizzazione, gerarchia degli infiniti), che spesso sono più rapide di de l’Hôpital.

La gerarchia degli infiniti, per $x\to+\infty$ :

$\ln x\ \ll\ x^a\ (a>0)\ \ll\ b^x\ (b>1)\ \ll\ x!,$

cioè il logaritmo cresce meno di ogni potenza, ogni potenza meno di ogni esponenziale, e così via. «Vince» sempre il termine di ordine superiore.

Esercizio 1 — Rapporto di polinomi (∞/∞)

Calcolare $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-2x}{x^2+1}$ .

Forma $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ . Si raccoglie la potenza dominante ( $x^2$ ) sopra e sotto:

\begin{aligned} \dfrac{3x^2-2x}{x^2+1} &=\dfrac{x^2\left(3-\dfrac{2}{x}\right)} {x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}\\ &=\dfrac{3-\dfrac{2}{x}}{1+\dfrac{1}{x^2}} \xrightarrow{x\to+\infty} \dfrac{3-0}{1+0}=3. \end{aligned}

Regola generale: per il rapporto di due polinomi a $\pm\infty$ , conta solo il rapporto dei termini di grado massimo. Qui gradi uguali, quindi il limite è il rapporto dei coefficienti direttori, $\dfrac{3}{1}=3$ .

Esercizio 2 — Rapporto con cancellazione (0/0)

Calcolare $\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ .

Sostituendo $x=2$ si ottiene $\dfrac{0}{0}$ . Si scompone il numeratore e si semplifica il fattore comune:

$\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\xrightarrow{x\to 2}4.$

La forma $\dfrac{0}{0}$ con polinomi segnala sempre un fattore comune $(x-x_0)$ da semplificare.

Esercizio 3 — Razionalizzazione (0/0 con radici)

Calcolare $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ .

Forma $\dfrac{0}{0}$ con una radice. Si moltiplica sopra e sotto per il coniugato $\sqrt{x+1}+1$ , usando $(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)=(x+1)-1=x$ :

$\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\dfrac{x}{x\left(\sqrt{x+1}+1\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}\xrightarrow{x\to 0}\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}.$

Esercizio 4 — Differenza con radici (∞−∞)

Calcolare $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$ .

Forma $\infty-\infty$ . Si razionalizza moltiplicando per il coniugato $\sqrt{x^2+x}+x$ :

$\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}.$

Ora è $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ : raccogliamo $x$ (con $\sqrt{x^2+x}=x\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}$ per $x>0$ ):

$\dfrac{x}{x\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+1}\xrightarrow{x\to+\infty}\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}.$

Esercizio 5 — Grado del numeratore maggiore (∞/∞)

Calcolare $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^3+1}{2x^2+x}$ .

Raccogliamo le potenze dominanti:

\begin{aligned} \dfrac{x^3+1}{2x^2+x} &=\dfrac{x^3\left(1+\dfrac{1}{x^3}\right)} {x^2\left(2+\dfrac{1}{x}\right)}\\ &=x\cdot\dfrac{1+\dfrac{1}{x^3}}{2+\dfrac{1}{x}} \xrightarrow{x\to+\infty} +\infty. \end{aligned}

Il fattore $x$ davanti diverge: quando il numeratore ha grado maggiore, il limite è $\pm\infty$ (qui $+\infty$ , dato il segno dei coefficienti).

Esercizio 6 — Gerarchia degli infiniti

Calcolare $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{e^x}$ .

Forma $\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$ , ma qui i termini non sono polinomi: interviene la gerarchia. L’esponenziale $e^x$ cresce più di qualunque potenza $x^a$ , quindi domina il denominatore:

$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{e^x}=0.$

(È la stessa conclusione che darebbe de l’Hôpital applicato due volte, ma la gerarchia la fornisce immediatamente.) Analogamente $\displaystyle \dfrac{\ln x}{x}\to 0$ e $\displaystyle \dfrac{x^{100}}{2^x}\to 0$ .

Esercizio 7 — Prodotto $0\cdot\infty$

Calcolare $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x$ .

La forma è $0\cdot(-\infty)$ . La trasformiamo in un rapporto:

x\ln x=\dfrac{\ln x}{1/x}.

Per $x\to0^+$ , poniamo $t=1/x$ , quindi $t\to+\infty$ e $\ln x=-\ln t$ . Allora:

x\ln x=-\dfrac{\ln t}{t}\xrightarrow{t\to+\infty}0.

Quindi:

\lim_{x\to0^+}x\ln x=0.

La potenza di $x$ che va a zero domina il logaritmo che diverge lentamente.

Esercizio 8 — Forma $1^\infty$

Calcolare $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{3}{x}\right)^x$ .

È una forma $1^\infty$ . Usiamo il limite notevole:

\left(1+\dfrac{a}{x}\right)^x\to e^a.

Con $a=3$ :

\lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{3}{x}\right)^x=e^3.

In alternativa si pone $L$ il limite e si studia il logaritmo:

\ln L=\lim_{x\to+\infty}x\ln\left(1+\dfrac{3}{x}\right)=3.

Quindi $L=e^3$ .

Esercizio 9 — Razionalizzazione doppia

Calcolare $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+x}\right)$ .

È una forma $\infty-\infty$ . Razionalizziamo:

\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2+x} =\dfrac{(x^2+2x)-(x^2+x)} {\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2+x}}.

Quindi:

=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2+x}}.

Raccogliendo $x$ al denominatore:

\dfrac{x}{x\sqrt{1+2/x}+x\sqrt{1+1/x}} =\dfrac{1}{\sqrt{1+2/x}+\sqrt{1+1/x}}.

Passando al limite:

\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}.

Sintesi: quale tecnica per quale forma

Forma	Situazione	Tecnica
$\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$	rapporto di polinomi	raccogliere la potenza dominante; conta il grado massimo
$\dfrac{0}{0}$	rapporto di polinomi	scomporre e semplificare il fattore $(x-x_0)$
$\dfrac{0}{0}$ o $\infty-\infty$	presenza di radici	razionalizzare con il coniugato
$\displaystyle \dfrac{\infty}{\infty}$	potenze, esponenziali, logaritmi	gerarchia degli infiniti ( $\ln\ll x^a\ll b^x\ll x!$ )
$1^\infty$	potenze variabili	passare al logaritmo o usare i limiti notevoli

In sintesi: per i polinomi, grado massimo; per le radici, coniugato; per i misti potenza/esponenziale/logaritmo, gerarchia. Quando nessuna di queste mosse semplifica (ad esempio limiti con funzioni trascendenti intrecciate), si passa a de l’Hôpital o agli sviluppi di Taylor.