Lemma di Jordan — ingegnerismo.it

Il lemma di Jordan è uno strumento tecnico essenziale per calcolare integrali impropri reali tramite il teorema dei residui, permettendo di trascurare il contributo lungo i cammini di chiusura nel piano complesso.

Enunciato

Sia $f(z)$ una funzione continua su un arco di circonferenza $C_R$ di raggio $R$ . Se $f(z)$ tende uniformemente a zero al tendere di $R$ all’infinito, allora: $\lim_{R \to \infty} \int_{C_R} f(z) e^{iaz} \, dz = 0 \quad (\text{per } a > 0)$

Utilità

Nello studio delle trasformate di Fourier, il lemma di Jordan garantisce che possiamo chiudere il cammino di integrazione reale con un semicerchio all’infinito senza alterare il valore dell’integrale, a patto che la funzione integranda decada abbastanza velocemente.

Significato Ingegneristico

Elettrotecnica: Utilizzato per calcolare la risposta transitoria di circuiti (antitrasformate di Laplace) quando il segnale di ingresso ha componenti armoniche.
Teoria dei Segnali: Assicura la validità delle operazioni di filtraggio nel dominio della frequenza complessa.
Vibrazioni Meccaniche: Permette di determinare la risposta di una struttura a sollecitazioni impulsive o periodiche modellando l’energia che si dissipa verso l’infinito.
Fisica Matematica: Applicato nello studio dei potenziali ritardati e della propagazione causale dei segnali elettromagnetici.