La matrice Jacobiana (o Jacobiano) è una matrice che generalizza il concetto di derivata ordinaria per funzioni vettoriali a più variabili. Data una funzione vettoriale \vec{f} che trasforma un vettore spaziale \vec{x} di dimensione n in un vettore \vec{y} di dimensione m, la matrice Jacobiana J di dimensione m \times n contiene tutte le derivate parziali prime delle componenti di \vec{f} rispetto alle componenti di \vec{x}:
Il significato geometrico dello Jacobiano è potentissimo: fornisce la “migliore” approssimazione lineare possibile di una trasformazione non lineare nell’intorno di un punto. Il determinante della matrice (se quadrata), chiamato anch’esso jacobiano, indica il fattore di espansione o contrazione dei volumi (o delle aree) a seguito del cambiamento di variabili, ed è indispensabile negli integrali multipli.
In ingegneria meccatronica e robotica, la matrice Jacobiana è il cardine della cinematica differenziale dei manipolatori articolati. Mette in relazione lineare le velocità dei giunti del robot (\dot{\vec{q}}, spazio dei giunti) con la velocità lineare e angolare dell’end-effector (\vec{v}, spazio operativo):
Nei punti dello spazio in cui la matrice Jacobiana perde rango (determinante nullo o matrice non a pieno rango), il robot incorre in una singolarità cinematica: in quella specifica configurazione geometrica perde momentaneamente uno o più gradi di libertà, divenendo fisicamente incapace di muoversi in determinate direzioni operative indipendentemente dalla velocità dei propri motori.