Interpolazione e Approssimazione Numerica

L’interpolazione costruisce una funzione che passa esattamente per un insieme di punti dati $(x_i, y_i)$. L’approssimazione cerca la funzione più vicina ai dati in qualche senso (ad es. minimi quadrati).

Interpolazione di Newton con Differenze Divise

Le differenze divise $f[x_0, \ldots, x_k]$ si calcolano ricorsivamente: $f[x_i] = f(x_i), \qquad f[x_i, \ldots, x_k] = \frac{f[x_{i+1},\ldots,x_k] - f[x_i,\ldots,x_{k-1}]}{x_k - x_i}$

Il polinomio interpolante di Newton è: $p_n(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1](x-x_0) + \cdots + f[x_0,\ldots,x_n]\prod_{i=0}^{n-1}(x-x_i)$

Vantaggio rispetto a Lagrange: si aggiunge facilmente un nuovo nodo senza ricalcolare tutto.

Errore di Interpolazione

Per $f \in C^{n+1}[a,b]$: $f(x) - p_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n(x - x_i)$

per qualche $\xi$ nell’intervallo più piccolo contenente $x, x_0, \ldots, x_n$.

Fenomeno di Runge e Nodi di Chebyshev

Con nodi equispaziati su $[-1,1]$, aumentare il grado $n$ può peggiorare l’approssimazione per funzioni come $f(x) = 1/(1+25x^2)$ (fenomeno di Runge).

I nodi di Chebyshev minimizzano il fattore $\prod(x-x_i)$: $x_i = \cos\!\left(\frac{2i+1}{2(n+1)}\pi\right), \quad i = 0, \ldots, n$

Spline Cubiche

Le spline cubiche interpolano i dati con polinomi di grado 3 su ciascun intervallo, raccordati con continuità di $f$, $f'$ e $f''$. Evitano le oscillazioni di Runge e sono standard nel CAD e nella computer grafica.

Approssimazione ai Minimi Quadrati

Con più dati che parametri, si minimizza $\sum_i (f(x_i) - y_i)^2$. Per l’approssimazione lineare ciò porta al sistema normale $A^T A \mathbf{c} = A^T \mathbf{y}$.