Interpolazione di Lagrange — ingegnerismo.it

L’interpolazione di Lagrange permette di trovare l’unico polinomio di grado al più $n$ che assume valori predefiniti in $n+1$ punti distinti (chiamati nodi).

Polinomio di Lagrange

Dati i punti $(x_0, y_0), \dots, (x_n, y_n)$ , il polinomio è espresso come: $P(x) = \sum_{j=0}^{n} y_j L_j(x)$ dove $L_j(x)$ sono i polinomi base di Lagrange, che valgono 1 nel punto $x_j$ e 0 in tutti gli altri nodi.

Caratteristiche

Esattezza: A differenza della regressione (che passa “vicino” ai punti), l’interpolazione passa esattamente per ogni punto dato.
Fenomeno di Runge: Per gradi elevati con nodi equispaziati, il polinomio può presentare forti oscillazioni ai bordi dell’intervallo.

Significato Ingegneristico

Ricostruzione Dati: Permette di stimare valori intermedi tra campionamenti sperimentali discreti.
Computer Graphics: Base per la definizione di curve spline e superfici utilizzate nella modellazione CAD.
Metodo degli Elementi Finiti (FEM): Le funzioni di forma utilizzate per descrivere il campo di spostamento o di temperatura all’interno di un elemento sono spesso polinomi di tipo Lagrange.
Integrazione Numerica: Le formule di Newton-Cotes (Trapezi, Simpson) derivano dall’integrazione del polinomio interpolante di Lagrange.