Integrazione

L’integrazione è, insieme alla derivazione, una delle due operazioni fondamentali del calcolo infinitesimale. Da un punto di vista intuitivo, l’integrale definito di una funzione $f(x)$ in un intervallo $[a,b]$ rappresenta l’area orientata sottesa dalla curva della funzione e l’asse delle ascisse:

$$A = \int_a^b f(x) \, dx$$

Il Teorema fondamentale del calcolo integrale stabilisce una profonda connessione tra derivazione e integrazione, dimostrando che l’integrale definito di una funzione continua può essere calcolato tramite una sua primitiva $F(x)$ (ossia una funzione tale che $F'(x) = f(x)$):

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

In ingegneria, l’integrazione è uno strumento imprescindibile per il passaggio da grandezze intensive o locali a grandezze estensive o globali. Ad esempio:

• In meccanica, integrando l’accelerazione $a(t)$ nel tempo si ottiene la variazione di velocità $\Delta v$, e integrando la velocità $v(t)$ si ottiene lo spostamento $\Delta x$.
• Il lavoro meccanico $W$ è l’integrale di linea del campo di forza lungo lo spostamento: $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$.
• Nella scienza delle costruzioni, il momento flettente è l’integrale del taglio lungo l’asse della trave.
• In teoria dei segnali e controlli, l’azione “Integrale” di un controllore PID ($\text{K}_i \int e(t)dt$) serve ad annullare l’errore a regime permanente sommando gli errori accumulati nel tempo.