L’integrazione è, insieme alla derivazione, una delle due operazioni fondamentali del calcolo infinitesimale. Da un punto di vista intuitivo, l’integrale definito di una funzione f(x) in un intervallo [a,b] rappresenta l’area orientata sottesa dalla curva della funzione e l’asse delle ascisse:
A = \int_a^b f(x) \, dx
Il Teorema fondamentale del calcolo integrale stabilisce una profonda connessione tra derivazione e integrazione, dimostrando che l’integrale definito di una funzione continua può essere calcolato tramite una sua primitiva F(x) (ossia una funzione tale che F'(x) = f(x)):
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
In ingegneria, l’integrazione è uno strumento imprescindibile per il passaggio da grandezze intensive o locali a grandezze estensive o globali. Ad esempio:
- In meccanica, integrando l’accelerazione a(t) nel tempo si ottiene la variazione di velocità \Delta v, e integrando la velocità v(t) si ottiene lo spostamento \Delta x.
- Il lavoro meccanico W è l’integrale di linea del campo di forza lungo lo spostamento: W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}.
- Nella scienza delle costruzioni, il momento flettente è l’integrale del taglio lungo l’asse della trave.
- In teoria dei segnali e controlli, l’azione “Integrale” di un controllore PID (\text{K}_i \int e(t)dt) serve ad annullare l’errore a regime permanente sommando gli errori accumulati nel tempo.