L’integrazione per sostituzione è una tecnica che consiste nel cambiare la variabile di integrazione per semplificare l’espressione della funzione integranda. Corrisponde “all’indietro” alla regola della catena delle derivate.
Metodo Operativo
Dato l’integrale \int f(g(x))g'(x) \, dx, poniamo t = g(x). Differenziando entrambi i membri otteniamo dt = g'(x) \, dx. L’integrale diventa: \int f(t) \, dt
Casi d’uso
- Quando l’integranda contiene una funzione composta moltiplicata per la derivata della sua funzione interna.
- Per eliminare radici quadrate o espressioni trigonometriche scomode (sostituzioni razionalizzanti).
Esempio
\int \frac{\ln x}{x} \, dx Ponendo t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x} dx, l’integrale diventa: \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C