Integrazione per Sostituzione

L’integrazione per sostituzione è una tecnica che consiste nel cambiare la variabile di integrazione per semplificare l’espressione della funzione integranda. Corrisponde “all’indietro” alla regola della catena delle derivate.

Metodo Operativo

Dato l’integrale $\int f(g(x))g'(x) \, dx$, poniamo $t = g(x)$. Differenziando entrambi i membri otteniamo $dt = g'(x) \, dx$. L’integrale diventa: $\int f(t) \, dt$

Casi d’uso

• Quando l’integranda contiene una funzione composta moltiplicata per la derivata della sua funzione interna.
• Per eliminare radici quadrate o espressioni trigonometriche scomode (sostituzioni razionalizzanti).

Esempio

$\int \frac{\ln x}{x} \, dx$ Ponendo $t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x} dx$, l’integrale diventa: $\int t \, dt = \frac{t^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$