Integrazione per Parti

L’integrazione per parti è una tecnica che permette di risolvere l’integrale del prodotto di due funzioni, riducendolo al calcolo di un integrale potenzialmente più semplice.

Formula

Dalla regola di derivazione del prodotto $(uv)' = u'v + uv'$, integrando entrambi i membri si ottiene: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ Oppure, in termini di funzioni $f(x)$ e $g'(x)$: $\int f(x)g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx$

Strategia di Scelta

Il successo della tecnica dipende dalla scelta di $u$ (fattore finito) e $dv$ (fattore differenziale):

• Si sceglie come $u$ una funzione che si semplifica derivando (es. polinomi, logaritmi).
• Si sceglie come $dv$ una funzione facilmente integrabile (es. esponenziali, funzioni trigonometriche).

Esempio Classico

$\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C$ In questo caso, scegliendo $u = x$, la sua derivata $u' = 1$ “abbassa” il grado del polinomio all’interno del secondo integrale.