L’integrazione per parti è una tecnica che permette di risolvere l’integrale del prodotto di due funzioni, riducendolo al calcolo di un integrale potenzialmente più semplice.
Formula
Dalla regola di derivazione del prodotto (uv)' = u'v + uv', integrando entrambi i membri si ottiene: \int u \, dv = uv - \int v \, du Oppure, in termini di funzioni f(x) e g'(x): \int f(x)g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx
Strategia di Scelta
Il successo della tecnica dipende dalla scelta di u (fattore finito) e dv (fattore differenziale):
- Si sceglie come u una funzione che si semplifica derivando (es. polinomi, logaritmi).
- Si sceglie come dv una funzione facilmente integrabile (es. esponenziali, funzioni trigonometriche).
Esempio Classico
\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C In questo caso, scegliendo u = x, la sua derivata u' = 1 “abbassa” il grado del polinomio all’interno del secondo integrale.