Integrazione Numerica

Voci di Glossario Analisi Numerica
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    L’integrazione numerica (o quadratura) approssima ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx tramite una somma pesata dei valori di ff in punti detti nodi: ∫abf(x) dx≈∑i=0nwif(xi)\int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=0}^n w_i f(x_i)

    Formule Composite

    Suddividendo [a,b][a,b] in NN intervalli di passo h=(b−a)/Nh = (b-a)/N:

    • Trapezi composita: h2[f(x0)+2f(x1)+⋯+2f(xN−1)+f(xN)]\frac{h}{2}[f(x_0) + 2f(x_1) + \cdots + 2f(x_{N-1}) + f(x_N)]; errore O(h2)O(h^2).
    • Simpson composita: h3[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+⋯+4f(xN−1)+f(xN)]\frac{h}{3}[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 4f(x_{N-1}) + f(x_N)] (NN pari); errore O(h4)O(h^4).

    Stima dell’Errore

    Per la formula dei trapezi composita: ET=−(b−a)h212f′′(ξ),ξ∈[a,b]E_T = -\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi), \qquad \xi \in [a,b]

    Per la formula di Simpson composita: ES=−(b−a)h4180f(4)(ξ)E_S = -\frac{(b-a)h^4}{180}f^{(4)}(\xi)

    Simpson è molto più accurata per lo stesso hh se ff è regolare.

    Quadratura di Gauss-Legendre

    I nodi non sono equispaziati ma ottimizzati per integrare esattamente polinomi di grado ≤2n−1\leq 2n-1 con soli nn punti. I nodi e i pesi su [−1,1][-1,1] si ricavano dagli zeri dei polinomi di Legendre. Molto efficiente per funzioni lisce.

    Quadrature Adattive

    Le quadrature adattive suddividono [a,b][a,b] in sottointervalli in modo non uniforme, infittendo là dove ff varia rapidamente (stimando l’errore locale). Sono la base dei moderni integratori numerici (es. quad in MATLAB/Python).

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