L’integrazione numerica (o quadratura) approssima \int_a^b f(x)\,dx tramite una somma pesata dei valori di f in punti detti nodi: \int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=0}^n w_i f(x_i)
Formule Composite
Suddividendo [a,b] in N intervalli di passo h = (b-a)/N:
- Trapezi composita: \frac{h}{2}[f(x_0) + 2f(x_1) + \cdots + 2f(x_{N-1}) + f(x_N)]; errore O(h^2).
- Simpson composita: \frac{h}{3}[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 4f(x_{N-1}) + f(x_N)] (N pari); errore O(h^4).
Stima dell’Errore
Per la formula dei trapezi composita: E_T = -\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi), \qquad \xi \in [a,b]
Per la formula di Simpson composita: E_S = -\frac{(b-a)h^4}{180}f^{(4)}(\xi)
Simpson è molto più accurata per lo stesso h se f è regolare.
Quadratura di Gauss-Legendre
I nodi non sono equispaziati ma ottimizzati per integrare esattamente polinomi di grado \leq 2n-1 con soli n punti. I nodi e i pesi su [-1,1] si ricavano dagli zeri dei polinomi di Legendre. Molto efficiente per funzioni lisce.
Quadrature Adattive
Le quadrature adattive suddividono [a,b] in sottointervalli in modo non uniforme, infittendo là dove f varia rapidamente (stimando l’errore locale). Sono la base dei moderni integratori numerici (es. quad in MATLAB/Python).