Integrazione di Funzioni Irrazionali

Voci di Glossario Analisi Matematica
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    Le funzioni irrazionali contengono radicali dell’integrand. L’obiettivo è ricondurre l’integrale a uno di funzione razionale tramite opportune sostituzioni.

    Radice di Espressione Lineare

    Per ∫f ⁣(x,ax+bn)dx\int f\!\left(x, \sqrt[n]{ax+b}\right)dx, si pone t=ax+bnt = \sqrt[n]{ax+b}, quindi x=tn−bax = \frac{t^n - b}{a} e dx=ntn−1a dtdx = \frac{n t^{n-1}}{a}\,dt.

    Se compaiono più radicali ⋅p\sqrt[p]{\cdot} e ⋅q\sqrt[q]{\cdot} dello stesso argomento, si usa t=⋅mcm(p,q)t = \sqrt[\text{mcm}(p,q)]{\cdot}.

    Radice di Trinomio Quadratico

    Per ∫dxax2+bx+c\int \frac{dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}, si completa il quadrato e si usa:

    FormaSostituzioneRisultato
    a2−x2\sqrt{a^2 - x^2}x=asin⁡θx = a\sin\thetaIntegrale trigonometrico
    a2+x2\sqrt{a^2 + x^2}x=atan⁡θx = a\tan\theta o x=asinh⁡tx = a\sinh tIntegrale trigonometrico/iperbolico
    x2−a2\sqrt{x^2 - a^2}x=asec⁡θx = a\sec\theta o x=acosh⁡tx = a\cosh tIntegrale trigonometrico/iperbolico

    Binomio Differenziale

    L’integrale ∫xm(a+bxn)p dx\int x^m (a + bx^n)^p\,dx con m,n,pm, n, p razionali è riconducibile a funzioni elementari solo nei tre casi di Chebyshev:

    1. p∈Zp \in \mathbb{Z}
    2. m+1n∈Z\frac{m+1}{n} \in \mathbb{Z}
    3. m+1n+p∈Z\frac{m+1}{n} + p \in \mathbb{Z}

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