Le funzioni irrazionali contengono radicali dell’integrand. L’obiettivo è ricondurre l’integrale a uno di funzione razionale tramite opportune sostituzioni.
Radice di Espressione Lineare
Per \int f\!\left(x, \sqrt[n]{ax+b}\right)dx, si pone t = \sqrt[n]{ax+b}, quindi x = \frac{t^n - b}{a} e dx = \frac{n t^{n-1}}{a}\,dt.
Se compaiono più radicali \sqrt[p]{\cdot} e \sqrt[q]{\cdot} dello stesso argomento, si usa t = \sqrt[\text{mcm}(p,q)]{\cdot}.
Radice di Trinomio Quadratico
Per \int \frac{dx}{\sqrt{ax^2 + bx + c}}, si completa il quadrato e si usa:
| Forma | Sostituzione | Risultato |
|---|---|---|
| \sqrt{a^2 - x^2} | x = a\sin\theta | Integrale trigonometrico |
| \sqrt{a^2 + x^2} | x = a\tan\theta o x = a\sinh t | Integrale trigonometrico/iperbolico |
| \sqrt{x^2 - a^2} | x = a\sec\theta o x = a\cosh t | Integrale trigonometrico/iperbolico |
Binomio Differenziale
L’integrale \int x^m (a + bx^n)^p\,dx con m, n, p razionali è riconducibile a funzioni elementari solo nei tre casi di Chebyshev:
- p \in \mathbb{Z}
- \frac{m+1}{n} \in \mathbb{Z}
- \frac{m+1}{n} + p \in \mathbb{Z}