L’integrazione per sostituzione (o cambio di variabile) trasforma un integrale complicato in uno più semplice introducendo una nuova variabile t=g(x). La formula:
\int f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx=\int f(t)\,dt,\qquad\text{con } t=g(x),\ dt=g'(x)\,dx.
In pratica: si sceglie una parte dell’integranda come t, si calcola dt=g'(x)\,dx, si riscrive tutto in termini di t (deve sparire ogni x), si integra, e infine si torna a x. Il segnale che la sostituzione funziona è che la derivata g'(x) compare (a meno di costanti) nell’integranda.
1. Sostituzione esponenziale
Esercizio. Calcolare \displaystyle\int x\,e^{x^2}\,dx.
Poniamo t=x^2, quindi dt=2x\,dx, cioè x\,dx=\dfrac{1}{2}\,dt. L’integrale diventa:
\int x\,e^{x^2}\,dx=\int e^{t}\cdot\dfrac{1}{2}\,dt=\dfrac{1}{2} e^{t}+C=\dfrac{1}{2} e^{x^2}+C.
(La presenza del fattore x, derivata di x^2 a meno di costante, è ciò che rende possibile la sostituzione.)
2. La tangente
Esercizio. Calcolare \displaystyle\int\tan x\,dx.
Scriviamo \displaystyle \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} e poniamo t=\cos x, quindi dt=-\sin x\,dx, cioè \sin x\,dx=-dt:
\int\dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx=\int\dfrac{-dt}{t}=-\ln\lvert t\rvert+C=-\ln\lvert\cos x\rvert+C.
3. Esponenziale di una funzione
Esercizio. Calcolare \displaystyle\int\cos x\,e^{\sin x}\,dx.
Poniamo t=\sin x, quindi dt=\cos x\,dx. L’integrale diventa immediato in t:
\int\cos x\,e^{\sin x}\,dx=\int e^{t}\,dt=e^{t}+C=e^{\sin x}+C.
4. Sostituzione logaritmica
Esercizio. Calcolare \displaystyle\int\dfrac{\ln x}{x}\,dx.
Poniamo t=\ln x, quindi dt=\dfrac{1}{x}\,dx. L’integrale diventa:
\int\dfrac{\ln x}{x}\,dx=\int t\,dt=\dfrac{t^2}{2}+C=\dfrac{(\ln x)^2}{2}+C.
5. Radice al denominatore
Esercizio. Calcolare \displaystyle\int\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx.
Poniamo t=x^2+1, quindi dt=2x\,dx, cioè x\,dx=\dfrac{1}{2}\,dt:
\int\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx=\int\dfrac{1}{\sqrt t}\cdot\dfrac{1}{2}\,dt=\dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt t+C=\sqrt{x^2+1}+C.
6. Sostituzione trigonometrica
Per integrali con \sqrt{1-x^2} (o simili) si usa una sostituzione trigonometrica che elimina la radice.
Esercizio. Calcolare \displaystyle\int\sqrt{1-x^2}\,dx.
Poniamo x=\sin t (con \displaystyle t\in[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]), quindi dx=\cos t\,dt e \sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2 t}=\cos t (positivo nell’intervallo scelto):
\int\sqrt{1-x^2}\,dx=\int\cos t\cdot\cos t\,dt=\int\cos^2 t\,dt.
Usando \displaystyle \cos^2 t=\dfrac{1+\cos 2t}{2}:
\int\cos^2 t\,dt=\dfrac{t}{2}+\dfrac{\sin 2t}{4}+C=\dfrac{t}{2}+\dfrac{\sin t\cos t}{2}+C.
Tornando a x (con t=\arcsin x, \sin t=x, \cos t=\sqrt{1-x^2}):
\int\sqrt{1-x^2}\,dx=\dfrac{\arcsin x}{2}+\dfrac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+C.
7. Integrale definito con sostituzione
Esercizio. Calcolare \displaystyle\int_0^1 2x(1+x^2)^3\,dx.
Poniamo:
Negli integrali definiti si trasformano anche gli estremi:
Quindi:
Cambiare gli estremi evita di tornare a x prima della valutazione finale.
8. Sostituzione razionale semplice
Esercizio. Calcolare \displaystyle\int\dfrac{dx}{2x+3}.
Poniamo:
Allora:
È una sostituzione elementare, ma fondamentale: ogni denominatore lineare produce un logaritmo scalato dal coefficiente della x.
9. Sostituzione x=\tan t
Esercizio. Calcolare \displaystyle\int\dfrac{dx}{1+x^2} usando la sostituzione x=\tan t.
Poniamo:
Poiché 1+\tan^2 t=\sec^2 t:
Tornando a x:
quindi:
Questa sostituzione spiega perché l’arcotangente compare naturalmente con 1+x^2.
Sintesi: come scegliere la sostituzione
- Cercare la struttura f(g(x))\,g'(x): la parte da porre uguale a t è la funzione «interna» g(x), e la sua derivata g'(x) deve comparire (a meno di costanti) nell’integranda.
- Candidati tipici per t: l’argomento di un’esponenziale o di un logaritmo (x^2 in e^{x^2}, \sin x in e^{\sin x}); il radicando; il denominatore in forma \displaystyle \dfrac{f'}{f}.
- Riscrivere tutto in t: dopo la sostituzione non deve restare alcuna x; il differenziale dx va espresso tramite dt.
- Tornare alla variabile originale alla fine (negli integrali indefiniti).
- Sostituzioni trigonometriche: x=\sin t per \sqrt{1-x^2}, x=\tan t per 1+x^2, \displaystyle x=\dfrac{1}{\cos t} per \sqrt{x^2-1} — eliminano le radici sfruttando le identità goniometriche.
La sostituzione e l’integrazione per parti sono le due tecniche generali che, combinate, risolvono la grande maggioranza degli integrali.