Integrazione per parti — ingegnerismo.it

L’integrazione per parti è la tecnica per integrare un prodotto di funzioni. Deriva dalla regola del prodotto delle derivate e si scrive:

$\int f(x)\,g'(x)\,dx=f(x)\,g(x)-\int f'(x)\,g(x)\,dx.$

Si sceglie un fattore da derivare ( $f$ , che diventa $f'$ ) e uno da integrare ( $g'$ , che diventa $g$ ). L’obiettivo: rendere l’integrale a destra più semplice di quello di partenza. Per scegliere $f$ (il fattore da derivare) è utile la regola ILATE, in ordine di priorità: Inverse (arcsin…), Logaritmiche, Algebriche (polinomi), Trigonometriche, Esponenziali — si deriva ciò che viene prima nella lista.

1. Polinomio per esponenziale

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int x\,e^x\,dx$ .

Per ILATE, deriviamo la parte Algebrica $x$ e integriamo l’Esponenziale $e^x$ . Posto $f=x$ ( $f'=1$ ) e $g'=e^x$ ( $g=e^x$ ):

$\int x\,e^x\,dx=x\,e^x-\int 1\cdot e^x\,dx=x\,e^x-e^x+C=(x-1)e^x+C.$

L’integrale residuo $\displaystyle \int e^x\,dx$ è immediato: la scelta ha funzionato.

2. Il logaritmo (fattore “1” nascosto)

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int\ln x\,dx$ .

Non sembra un prodotto, ma si scrive $\ln x=1\cdot\ln x$ e si integra per parti derivando il logaritmo. Posto $f=\ln x$ ( $f'=\dfrac{1}{x}$ ) e $g'=1$ ( $g=x$ ):

$\int\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\dfrac{1}{x}\,dx=x\ln x-\int 1\,dx=x\ln x-x+C.$

Trucco da ricordare: per integrare $\ln x$ (o $\arctan x$ , $\arcsin x$ ) si usa il fattore $1$ come $g'$ .

3. Per parti ripetuta (polinomio di grado 2)

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int x^2\sin x\,dx$ .

Deriviamo $x^2$ (algebrica) e integriamo $\sin x$ . Posto $f=x^2$ ( $f'=2x$ ) e $g'=\sin x$ ( $g=-\cos x$ ):

$\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+\int 2x\cos x\,dx.$

Il nuovo integrale $\displaystyle \int 2x\cos x\,dx$ richiede un’altra integrazione per parti ( $f=2x$ , $g'=\cos x$ , $g=\sin x$ ):

$\int 2x\cos x\,dx=2x\sin x-\int 2\sin x\,dx=2x\sin x+2\cos x+C.$

Mettendo insieme:

$\int x^2\sin x\,dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.$

Con un polinomio di grado $n$ servono $n$ integrazioni per parti (ogni passo abbassa il grado di $1$ ).

4. Il caso ciclico

A volte, dopo due integrazioni per parti, ricompare l’integrale di partenza: lo si tratta come un’incognita algebrica.

Esercizio. Calcolare $\displaystyle I=\int e^x\sin x\,dx$ .

Prima parte ( $f=\sin x$ , $g'=e^x$ , $g=e^x$ ):

$I=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx.$

Seconda parte sul nuovo integrale ( $f=\cos x$ , $g'=e^x$ , $g=e^x$ ):

$\int e^x\cos x\,dx=e^x\cos x-\int e^x(-\sin x)\,dx=e^x\cos x+I.$

Sostituendo nella prima:

$I=e^x\sin x-\big(e^x\cos x+I\big)=e^x\sin x-e^x\cos x-I.$

Ora $I$ compare a entrambi i membri: portandolo a sinistra, $2I=e^x(\sin x-\cos x)$ , quindi

$I=\dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C.$

5. Polinomio per coseno

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int x\cos x\,dx$ .

Deriviamo $x$ , integriamo $\cos x$ ( $g=\sin x$ ):

$\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C.$

6. Prodotto algebrico-logaritmico

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int x\ln x\,dx$ .

Secondo ILATE si deriva il logaritmo e si integra la parte algebrica. Poniamo

f=\ln x,\qquad f'=\dfrac{1}{x},\qquad g'=x,\qquad g=\dfrac{x^2}{2}.

Allora

\int x\ln x\,dx =\dfrac{x^2}{2}\ln x-\int\dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx =\dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac{1}{2}\int x\,dx.

Quindi

\int x\ln x\,dx =\dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac{x^2}{4}+C.

Derivare $x$ invece del logaritmo porterebbe a integrare $\ln x$ , cioè a un passaggio più lungo: la scelta dei fattori conta.

7. Funzione inversa: arcotangente

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int\arctan x\,dx$ .

Come per il logaritmo, si usa il fattore nascosto $1$ :

f=\arctan x,\qquad f'=\dfrac{1}{1+x^2},\qquad g'=1,\qquad g=x.

Per parti:

\int\arctan x\,dx =x\arctan x-\int\dfrac{x}{1+x^2}\,dx.

L’integrale residuo è immediato con $u=1+x^2$ , $du=2x\,dx$ :

\int\dfrac{x}{1+x^2}\,dx =\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2).

Pertanto

\int\arctan x\,dx =x\arctan x-\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)+C.

Le funzioni inverse trigonometriche sono un caso classico in cui l’integrazione per parti trasforma una funzione “non integrabile direttamente” in una razionale.

8. Integrale definito per parti

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int_0^\pi x\sin x\,dx$ .

Per parti, scegliamo $f=x$ e $g'=\sin x$ , dunque $f'=1$ e $g=-\cos x$ :

\int_0^\pi x\sin x\,dx =\left[-x\cos x\right]_0^\pi-\int_0^\pi(-\cos x)\,dx.

Il primo termine vale

\left[-x\cos x\right]_0^\pi =-\pi\cos\pi-0=\pi,

mentre

\int_0^\pi\cos x\,dx =\left[\sin x\right]_0^\pi=0.

Quindi

\int_0^\pi x\sin x\,dx=\pi.

Negli integrali definiti bisogna valutare anche il termine di bordo $fg\big|_a^b$ : è spesso la parte in cui avvengono gli errori di segno.

Sintesi: scegliere bene i fattori

Formula: $\displaystyle \int f g'\,dx=fg-\int f'g\,dx$ ; si deriva $f$ e si integra $g'$ .
Regola ILATE per scegliere $f$ (il fattore da derivare): Inverse, Logaritmiche, Algebriche, Trigonometriche, Esponenziali. Si deriva ciò che viene prima (es. in $x\,e^x$ si deriva $x$ ; in $x\ln x$ si deriva $\ln x$ ).
Obiettivo: l’integrale residuo $\displaystyle \int f'g\,dx$ deve essere più semplice. Se diventa più complicato, probabilmente la scelta dei fattori va invertita.
Polinomi: richiedono tante integrazioni per parti quanto è il grado.
Caso ciclico (esponenziale × seno/coseno): dopo due passi ricompare l’integrale iniziale $I$ ; lo si risolve algebricamente isolando $I$ .
Fattore $1$ : per $\ln x$ , $\arctan x$ , $\arcsin x$ , integrare per parti usando $g'=1$ .
Integrali definiti: applicare la formula con i termini di bordo $\left[fg\right]_a^b$ e poi integrare il residuo sugli stessi estremi.

Insieme alla sostituzione, l’integrazione per parti copre la maggior parte degli integrali; per le funzioni razionali serve invece la decomposizione in fratti semplici.