Integrazione delle funzioni razionali fratte

Una funzione razionale fratta è un rapporto di polinomi $\displaystyle \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ . Per integrarla si segue una procedura standard:

se $\deg P\geq\deg Q$ , si esegue la divisione polinomiale, ottenendo un polinomio più un resto fratto con $\deg<\deg Q$ ;
si scompone il denominatore $Q(x)$ in fattori;
si decompone la frazione in fratti semplici (una somma di frazioni elementari);
si integra ciascun pezzo, che ricade in uno di tre tipi: $\displaystyle \dfrac{A}{x-a}\to A\ln\lvert x-a\rvert$ , oppure $\displaystyle \dfrac{Bx+C}{x^2+px+q}$ che porta a logaritmi e/o arcotangenti.

1. Fratti semplici con radici reali distinte

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2-1}\,dx$ .

Il denominatore si scompone in $(x-1)(x+1)$ . Cerchiamo la decomposizione $\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}$ . Moltiplicando per $(x-1)(x+1)$ : $1=A(x+1)+B(x-1)$ . Ponendo $x=1$ : $1=2A\Rightarrow A=\dfrac{1}{2}$ ; ponendo $x=-1$ : $1=-2B\Rightarrow B=-\dfrac{1}{2}$ . Quindi:

\begin{aligned} \int\dfrac{1}{x^2-1}\,dx&=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dx}{x-1}-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{dx}{x+1}\\ &=\dfrac{1}{2}\ln\lvert x-1\rvert-\dfrac{1}{2}\ln\lvert x+1\rvert+C\\ &=\dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{x-1}{x+1}\right\rvert+C. \end{aligned}

2. La forma f’/f (logaritmo)

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int\dfrac{x}{x^2+1}\,dx$ .

Il numeratore $x$ è metà della derivata del denominatore ( $2x$ ). Quindi è del tipo $\displaystyle \dfrac{f'}{f}$ a meno di un fattore $\dfrac{1}{2}$ :

$\int\dfrac{x}{x^2+1}\,dx=\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x}{x^2+1}\,dx=\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1)+C.$

3. L’arcotangente

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+1}\,dx$ .

È la primitiva notevole dell’arcotangente:

$\int\dfrac{1}{x^2+1}\,dx=\arctan x+C.$

4. Decomposizione con numeratore di primo grado

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int\dfrac{x+3}{(x-1)(x+2)}\,dx$ .

Decomponiamo: $\dfrac{x+3}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ . Da $x+3=A(x+2)+B(x-1)$ : ponendo $x=1$ , $4=3A\Rightarrow A=\dfrac{4}{3}$ ; ponendo $x=-2$ , $1=-3B\Rightarrow B=-\dfrac{1}{3}$ . Quindi:

$\int\dfrac{x+3}{(x-1)(x+2)}\,dx=\dfrac{4}{3}\ln\lvert x-1\rvert-\dfrac{1}{3}\ln\lvert x+2\rvert+C.$

5. Divisione preliminare (grado numeratore ≥ denominatore)

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x-1}\,dx$ .

Il numeratore ha grado $2$ , il denominatore grado $1$ : prima si divide. Eseguendo $x^2:(x-1)$ si ottiene $x^2=(x-1)(x+1)+1$ , quindi $\dfrac{x^2}{x-1}=x+1+\dfrac{1}{x-1}$ . Ora si integra termine per termine:

$\int\dfrac{x^2}{x-1}\,dx=\int\left(x+1+\dfrac{1}{x-1}\right)dx=\dfrac{x^2}{2}+x+\ln\lvert x-1\rvert+C.$

6. Denominatore con discriminante negativo

Quando il denominatore di secondo grado non ha radici reali ( $\Delta<0$ ), non si scompone: si completa il quadrato e si riconduce all’arcotangente.

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+2x+5}\,dx$ .

Il denominatore ha $\Delta=4-20<0$ . Completiamo il quadrato: $x^2+2x+5=(x+1)^2+4$ . Quindi, con la forma $\displaystyle \int\dfrac{dt}{t^2+a^2}=\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{t}{a}$ (qui $t=x+1$ , $a=2$ ):

$\int\dfrac{1}{(x+1)^2+4}\,dx=\dfrac{1}{2}\arctan\dfrac{x+1}{2}+C.$

7. Radice reale doppia

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int\dfrac{1}{(x-1)^2}\,dx$ .

Qui il denominatore ha una radice reale ripetuta. Non compare solo $\dfrac{A}{x-1}$ , ma anche la potenza:

\int\dfrac{1}{(x-1)^2}\,dx =\int (x-1)^{-2}\,dx =-(x-1)^{-1}+C.

Quindi:

\int\dfrac{1}{(x-1)^2}\,dx=-\dfrac{1}{x-1}+C.

Le radici multiple producono termini con potenze crescenti nel denominatore; non tutti integrano in logaritmi.

8. Fratti semplici con radice doppia

Esercizio. Decomporre e integrare $\displaystyle\int\dfrac{x}{(x-1)^2}\,dx$ .

Cerchiamo:

\dfrac{x}{(x-1)^2}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^2}.

Moltiplicando:

x=A(x-1)+B=Ax+(B-A).

Confrontando i coefficienti:

A=1,\qquad B-A=0\Rightarrow B=1.

Quindi:

\int\dfrac{x}{(x-1)^2}\,dx =\int\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{(x-1)^2}\right)dx

=\ln|x-1|-\dfrac{1}{x-1}+C.

9. Quadratico irriducibile con numeratore lineare

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int\dfrac{x+1}{x^2+2x+5}\,dx$ .

Il denominatore è:

x^2+2x+5=(x+1)^2+4.

Il numeratore $x+1$ è metà della derivata del denominatore:

(x^2+2x+5)'=2x+2=2(x+1).

Quindi:

\int\dfrac{x+1}{x^2+2x+5}\,dx =\dfrac{1}{2}\ln(x^2+2x+5)+C.

Se il numeratore non fosse allineato alla derivata, si spezzerebbe in una parte logaritmica e una parte arcotangente.

Sintesi: la procedura completa

Confronta i gradi: se $\deg P\geq\deg Q$ , dividi prima (polinomio + resto fratto).
Scomponi il denominatore in fattori lineari e quadratici irriducibili.
Decomponi in fratti semplici: per ogni fattore $(x-a)$ un termine $\displaystyle \dfrac{A}{x-a}$ ; per ogni fattore quadratico irriducibile $x^2+px+q$ un termine $\displaystyle \dfrac{Bx+C}{x^2+px+q}$ (per radici multiple, potenze crescenti).
Integra i pezzi:
- $\dfrac{A}{x-a}\to A\ln\lvert x-a\rvert$ ;
- $\dfrac{f'}{f}\to\ln\lvert f\rvert$ (numeratore = derivata del denominatore);
- $\dfrac{1}{(x+b)^2+a^2}\to\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x+b}{a}$ (completando il quadrato quando $\Delta<0$ ).

Per determinare i coefficienti $A,B,\dots$ il metodo più rapido è sostituire le radici del denominatore nell’identità (come negli esercizi 1 e 4). Questa tecnica completa il repertorio dell’integrazione, accanto a immediati, sostituzione e parti.