Gli integrali multipli estendono il calcolo integrale a funzioni di più variabili, consentendo il calcolo di aree, volumi, masse, baricentri e momenti d’inerzia.
Integrali Doppi su Domini Normali
Un dominio normale rispetto all’asse x è della forma D = \{(x,y): a \leq x \leq b,\ \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}.
Teorema di Fubini-Tonelli: per f continua su D: \iint_D f(x,y)\,dA = \int_a^b \left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy\right)dx
L’integrale doppio si riduce a due integrali semplici iterati.
Cambio di Variabili e Jacobiano
Con il cambio (x,y) = \Phi(u,v) di classe C^1 e Jacobiano J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \neq 0: \iint_D f(x,y)\,dA = \iint_{D'} f(\Phi(u,v))\,|J|\,du\,dv
Coordinate polari (x,y) = (r\cos\theta, r\sin\theta): |J| = r.
Integrali Tripli
Analogamente, su un dominio solido V \subseteq \mathbb{R}^3, si applica Fubini iterando tre volte. I cambi di variabili più usati:
- Coordinate cilindriche (x,y,z) = (r\cos\theta, r\sin\theta, z): |J| = r
- Coordinate sferiche (x,y,z) = (\rho\sin\phi\cos\theta, \rho\sin\phi\sin\theta, \rho\cos\phi): |J| = \rho^2\sin\phi
Applicazioni
| Grandezza | Formula |
|---|---|
| Area | \iint_D dA |
| Volume | \iiint_V dV |
| Massa (densità \rho) | \iiint_V \rho\,dV |
| Baricentro (x-coord) | \bar{x} = \frac{1}{M}\iiint_V x\rho\,dV |
| Momento d’inerzia rispetto all’asse z | I_z = \iiint_V (x^2+y^2)\rho\,dV |