Integrali Doppi e Tripli

Gli integrali multipli estendono il calcolo integrale a funzioni di più variabili, consentendo il calcolo di aree, volumi, masse, baricentri e momenti d’inerzia.

Integrali Doppi su Domini Normali

Un dominio normale rispetto all’asse $x$ è della forma $D = \{(x,y): a \leq x \leq b,\ \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}$.

Teorema di Fubini-Tonelli: per $f$ continua su $D$: $\iint_D f(x,y)\,dA = \int_a^b \left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,dy\right)dx$

L’integrale doppio si riduce a due integrali semplici iterati.

Cambio di Variabili e Jacobiano

Con il cambio $(x,y) = \Phi(u,v)$ di classe $C^1$ e Jacobiano $J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \neq 0$: $\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_{D'} f(\Phi(u,v))\,|J|\,du\,dv$

Coordinate polari $(x,y) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$: $|J| = r$.

Integrali Tripli

Analogamente, su un dominio solido $V \subseteq \mathbb{R}^3$, si applica Fubini iterando tre volte. I cambi di variabili più usati:

• Coordinate cilindriche $(x,y,z) = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$: $|J| = r$
• Coordinate sferiche $(x,y,z) = (\rho\sin\phi\cos\theta, \rho\sin\phi\sin\theta, \rho\cos\phi)$: $|J| = \rho^2\sin\phi$

Applicazioni

Grandezza	Formula
Area	$\iint_D dA$
Volume	$\iiint_V dV$
Massa (densità $\rho$)	$\iiint_V \rho\,dV$
Baricentro ($x$-coord)	$\bar{x} = \frac{1}{M}\iiint_V x\rho\,dV$
Momento d’inerzia rispetto all’asse $z$	$I_z = \iiint_V (x^2+y^2)\rho\,dV$