Integrale definito e teorema fondamentale

L’integrale definito è un numero, che rappresenta l’area con segno compresa tra il grafico di $f$ e l’asse $x$ sull’intervallo $[a,b]$ (positiva sopra l’asse, negativa sotto). Si calcola con il teorema fondamentale del calcolo: trovata una primitiva $F$ di $f$ ,

$\int_a^b f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a).$

Proprietà utili: linearità, additività rispetto all’intervallo e simmetrie. L’additività, per esempio, si scrive:

\int_a^c f(x)\,dx =\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx.

1. Integrale di una potenza

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ .

Una primitiva di $x^2$ è $\displaystyle \dfrac{x^3}{3}$ . Applicando il teorema fondamentale:

$\int_0^1 x^2\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3}=\dfrac{1}{3}.$

2. Integrale del seno

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int_0^\pi\sin x\,dx$ .

Primitiva $-\cos x$ :

$\int_0^\pi\sin x\,dx=\big[-\cos x\big]_0^\pi=-\cos\pi-(-\cos 0)=-(-1)+1=2.$

L’area sotto una semionda di seno vale esattamente $2$ .

3. Area sotto una parabola

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx$ (area tra la parabola e l’asse $x$ ).

Primitiva $\displaystyle 4x-\dfrac{x^3}{3}$ :

\begin{aligned} \int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx &=\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}\\ &=\left(8-\dfrac{8}{3}\right)-\left(-8+\dfrac{8}{3}\right)\\ &=\dfrac{16}{3}+\dfrac{16}{3}\\ &=\dfrac{32}{3}. \end{aligned}

Poiché su $[-2,2]$ la funzione $4-x^2$ è $\geq 0$ , l’integrale è proprio l’area (positiva) della regione.

L'integrale definito ∫₋₂² (4 − x²) dx = 32/3 è l'area della regione tra la parabola (≥ 0 su [−2, 2]) e l'asse x, fra i due zeri x = ±2.

4. Integrale con valore assoluto

Con un valore assoluto, si spezza l’intervallo nei punti dove l’argomento cambia segno.

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int_{-1}^{1}\lvert x\rvert\,dx$ .

Poiché $\lvert x\rvert=-x$ per $x<0$ e $\lvert x\rvert=x$ per $x\geq 0$ , spezziamo in $[-1,0]$ e $[0,1]$ :

\begin{aligned} \int_{-1}^{1}\lvert x\rvert\,dx &=\int_{-1}^{0}(-x)\,dx+\int_{0}^{1}x\,dx\\ &=\left[-\dfrac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0} +\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{0}^{1}\\ &=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\\ &=1. \end{aligned}

(Sono due triangoli di area $\dfrac{1}{2}$ ciascuno.)

5. Simmetria: funzione dispari

Per una funzione dispari su un intervallo simmetrico $[-a,a]$ , l’integrale è zero (le aree positiva e negativa si compensano).

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int_{-1}^{1}x^3\,dx$ .

$x^3$ è dispari, l’intervallo è simmetrico, quindi senza calcoli l’integrale è $0$ . Verifica esplicita:

$\int_{-1}^{1}x^3\,dx=\left[\dfrac{x^4}{4}\right]_{-1}^{1}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0.$

(Per una funzione pari, invece, $\displaystyle \int_{-a}^{a}=2\int_0^a$ .)

6. Valore medio di una funzione

Il valore medio di $f$ su $[a,b]$ è $\bar f=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ (l’altezza del rettangolo di base $b-a$ con la stessa area).

Esercizio. Calcolare il valore medio di $f(x)=x^2$ su $[0,3]$ .

Prima l’integrale: $\displaystyle \int_0^3 x^2\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=9$ . Poi il valore medio:

$\bar f=\dfrac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac{9}{3}=3.$

7. Area geometrica con più zeri

Esercizio. Calcolare l’area compresa tra il grafico di $f(x)=x^2-1$ e l’asse $x$ su $[-2,2]$ .

L’area geometrica richiede

\int_{-2}^{2}\lvert x^2-1\rvert\,dx.

La funzione si annulla in $x=\pm1$ . È positiva su $[-2,-1]\cup[1,2]$ e negativa su $[-1,1]$ . Per simmetria:

\int_{-2}^{2}\lvert x^2-1\rvert\,dx =2\left(\int_0^1(1-x^2)\,dx+\int_1^2(x^2-1)\,dx\right).

Calcoliamo:

\int_0^1(1-x^2)\,dx =\left[x-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 =\dfrac{2}{3},

\int_1^2(x^2-1)\,dx =\left[\dfrac{x^3}{3}-x\right]_1^2 =\left(\dfrac{8}{3}-2\right)-\left(\dfrac{1}{3}-1\right) =\dfrac{4}{3}.

Dunque

\text{Area}=2\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}\right)=4.

Se invece si calcolasse l’integrale con segno, le parti negative sottrarrebbero area.

8. Sostituzione in un integrale definito

Esercizio. Calcolare $\displaystyle\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx$ .

Poniamo $u=x^2$ , dunque $du=2x\,dx$ . Cambiamo anche gli estremi:

x=0\Rightarrow u=0,\qquad x=1\Rightarrow u=1.

Allora

\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx =\int_0^1 e^u\,du =\left[e^u\right]_0^1 =e-1.

Negli integrali definiti conviene cambiare gli estremi e non tornare alla variabile iniziale: riduce passaggi e possibili errori.

9. Derivata di una funzione integrale

Esercizio. Sia

F(x)=\int_1^{x^2}\ln(1+t^2)\,dt.

Calcolare $F'(x)$ .

Il teorema fondamentale dice che, se

G(u)=\int_1^u\ln(1+t^2)\,dt,

allora

G'(u)=\ln(1+u^2).

Qui $u=x^2$ , quindi si applica la catena:

F'(x)=G'(x^2)\cdot2x =2x\,\ln\left(1+(x^2)^2\right) =2x\,\ln(1+x^4).

Il punto delicato è l’estremo variabile composto: non basta sostituire $x^2$ , va moltiplicato per la derivata dell’estremo.

Sintesi: calcolare un integrale definito

Teorema fondamentale: trovare una primitiva $F$ e calcolare $F(b)-F(a)$ . La costante $C$ non serve (si elide nella differenza).
Area con segno: dove $f<0$ l’integrale contribuisce negativamente. Per l’area geometrica (sempre positiva) si integra $\lvert f\rvert$ , spezzando negli zeri.
Valore assoluto: spezzare l’intervallo nei punti dove l’argomento cambia segno e sommare i pezzi.
Simmetrie: funzione dispari su $[-a,a]\Rightarrow$ integrale $0$ ; funzione pari $\Rightarrow\displaystyle \int_{-a}^a=2\int_0^a$ . Sfruttarle fa risparmiare calcoli.
Valore medio: $\displaystyle \bar f=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f$ .
Sostituzione definita: cambiare gli estremi insieme alla variabile.
Funzione integrale: se l’estremo è composto, applicare il teorema fondamentale più la regola della catena.

Per intervalli illimitati o funzioni con singolarità, l’integrale definito si estende agli integrali impropri. Quando l’estremo superiore è variabile, l’integrale definisce una funzione integrale.