Integrale di Riemann — ingegnerismo.it

L’integrale di Riemann è la formalizzazione matematica dell’idea intuitiva di “area sotto una curva”. Si basa sulla suddivisione del dominio in intervalli sempre più piccoli e sul calcolo della somma delle aree di rettangoli approssimanti.

Definizione

Data una funzione limitata $f$ su un intervallo $[a, b]$ , si definiscono le somme di Riemann superiori $S(P, f)$ e inferiori $s(P, f)$ per una data partizione $P$ . La funzione è integrabile secondo Riemann se l’estremo superiore delle somme inferiori coincide con l’estremo inferiore delle somme superiori: $\sup_P s(P, f) = \inf_P S(P, f) = \int_a^b f(x) \, dx$

Significato Ingegneristico

Digitalizzazione e Campionamento: Ogni volta che un software acquisisce dati da un sensore (es. pressione nel tempo) e ne calcola il valore medio o l’energia totale, sta eseguendo una somma di Riemann discreta.
Calcolo Strutturale: La determinazione del momento flettente o dello sforzo di taglio in una trave soggetta a carichi distribuiti si basa sull’integrazione delle funzioni di carico lungo la lunghezza della trave.
Simulazione Numerica: Molti algoritmi di integrazione numerica (metodo del rettangolo, dei trapezi, Simpson) non sono altro che implementazioni efficienti della definizione di Riemann.
Termodinamica: Il lavoro scambiato da un gas in un ciclo termodinamico è pari all’integrale di Riemann della pressione rispetto al volume ( $L = \int P \, dV$ ).