L’integrale di linea è un’estensione del concetto di integrale in cui la funzione viene integrata lungo un cammino (curva) nel piano o nello spazio, anziché su un intervallo dell’asse reale.
Tipologie
- Di Prima Specie (Funzione scalare): Usato per calcolare la massa di un filo a densità variabile o la lunghezza di una curva. \int_\gamma f \, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}'(t)\| \, dt
- Di Seconda Specie (Campo vettoriale): Usato per calcolare il lavoro compiuto da un campo di forze \mathbf{F} lungo un percorso. \int_\gamma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt Se la curva è chiusa, l’integrale è detto circuitazione.
Significato Ingegneristico
- Elettromagnetismo: Calcolo del potenziale elettrico come integrale di linea del campo elettrico o della legge di Ampere (circuitazione del campo magnetico).
- Termodinamica: Il lavoro scambiato in un ciclo termodinamico è l’integrale di linea del tipo \oint P \, dV.
- Meccanica: Calcolo dell’energia spesa per muovere un carico lungo una traiettoria complessa in presenza di campi gravitazionali o di attrito.
- Fluidodinamica: La circuitazione del campo di velocità attorno a un profilo alare è direttamente legata alla portanza generata (teorema di Kutta-Joukowski).