L’integrale definito rappresenta l’area orientata sottesa al grafico di una funzione f(x) in un intervallo [a, b]. Formalmente viene definito come il limite delle somme di Riemann al tendere della norma della partizione a zero.
Definizione di Riemann
Se f(x) è limitata su [a, b], l’integrale è il valore comune tra l’integrale superiore e inferiore: \int_a^b f(x) \, dx
Proprietà
- Additività: \int_a^c f + \int_c^b f = \int_a^b f
- Linearità: \int (\alpha f + \beta g) = \alpha \int f + \beta \int g
- Inversione degli estremi: \int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx
Significato Fisico
Rappresenta la somma di infiniti contributi infinitesimali. In ingegneria si usa per calcolare:
- Il lavoro compiuto da una forza variabile.
- L’energia accumulata in un sistema.
- Il flusso di un campo attraverso una superficie.