Infinito (Analisi matematica)

Nell’ambito dei limiti, una funzione $f(x)$ è un infinito per $x \to x_0$ (o per $x \to \infty$) se il suo limite diverge, ovvero: $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$

Lo studio degli infiniti permette di confrontare la “velocità” con cui diverse funzioni divergono.

Gerarchia degli Infiniti

Per $x \to +\infty$, le funzioni elementari seguono una precisa gerarchia degli infiniti che stabilisce il loro ordine di grandezza relativo (dal più lento al più rapido): $\log_a x \ll x^\alpha \ll b^x \ll x! \ll x^x$ (con $a > 1, \alpha > 0, b > 1$).

Se una funzione “vince” su un’altra (è un infinito di ordine superiore), il rapporto tra la prima e la seconda tende a infinito, mentre il rapporto inverso tende a zero.

Applicazione Tecnica

In ingegneria informatica, questa analisi è alla base della complessità computazionale (usando la notazione $O$-grande), per stimare quante risorse (tempo, memoria) richiederà un algoritmo al crescere dei dati in ingresso $n \to \infty$.

Vedi anche: Infinitesimo.