Infinitesimo

Una funzione $f(x)$ è detta infinitesimo per $x \to x_0$ se il suo limite in quel punto è pari a zero: $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$

Confronto e Notazione di Landau (o-piccolo)

Quando si confrontano due infinitesimi, si studia con quale “velocità” essi tendono a zero. Diciamo che $f$ è un o-piccolo di $g$ (e scriviamo $f = o(g)$) se: $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ Questo significa che $f$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $g$, ovvero tende a zero molto più velocemente.

Se invece il limite del rapporto è un numero finito diverso da zero, i due infinitesimi si dicono dello stesso ordine.

Applicazioni Ingegneristiche

• Linearizzazione e Taylor: Nello sviluppo in serie di Taylor, il termine di errore è indicato come un o-piccolo del termine principale. Tralasciare l’o-piccolo permette di costruire modelli matematici lineari o polinomiali approssimati, fondamentali nella meccanica delle vibrazioni e nel controllo dei sistemi dinamici.
• Calcolo differenziale: La definizione stessa di differenziale e derivata si basa sul rapporto tra variazioni infinitesime delle grandezze.

Vedi anche: Infinito.