Hessiano

La matrice Hessiana è la matrice quadrata delle derivate parziali seconde di una funzione a valori reali. Viene utilizzata per studiare la concavità di una funzione e per classificare i suoi punti critici.

Definizione

Per una funzione $f(x, y)$, l’Hessiano è: $H(f) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}$ Per il Teorema di Schwarz, se le derivate seconde sono continue, la matrice è simmetrica.

Classificazione dei Punti Critici

Dato un punto stazionario $\nabla f(P) = 0$:

• Se $\det(H) > 0$ e $f_{xx} > 0 \Rightarrow$ Minimo locale.
• Se $\det(H) > 0$ e $f_{xx} < 0 \Rightarrow$ Massimo locale.
• Se $\det(H) < 0 \Rightarrow$ Punto di sella.

Applicazione

In ingegneria strutturale e meccanica, lo studio della stabilità dell’equilibrio di un sistema è legato alla natura della matrice Hessiana dell’energia potenziale: un sistema è in equilibrio stabile solo se l’Hessiano è definito positivo (minimo di energia).