La matrice Hessiana è la matrice quadrata delle derivate parziali seconde di una funzione a valori reali. Viene utilizzata per studiare la concavità di una funzione e per classificare i suoi punti critici.
Definizione
Per una funzione f(x, y), l’Hessiano è: H(f) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix} Per il Teorema di Schwarz, se le derivate seconde sono continue, la matrice è simmetrica.
Classificazione dei Punti Critici
Dato un punto stazionario \nabla f(P) = 0:
- Se \det(H) > 0 e f_{xx} > 0 \Rightarrow Minimo locale.
- Se \det(H) > 0 e f_{xx} < 0 \Rightarrow Massimo locale.
- Se \det(H) < 0 \Rightarrow Punto di sella.
Applicazione
In ingegneria strutturale e meccanica, lo studio della stabilità dell’equilibrio di un sistema è legato alla natura della matrice Hessiana dell’energia potenziale: un sistema è in equilibrio stabile solo se l’Hessiano è definito positivo (minimo di energia).