Geodetica

Una geodetica è la generalizzazione del concetto di retta a una superficie curva: è la curva di lunghezza minima (localmente) che congiunge due punti sulla superficie, oppure, equivalentemente, la curva lungo la quale l’accelerazione è sempre perpendicolare alla superficie.

Vedi anche: Superficie Parametrica, Curvature delle Superfici, Terna di Frenet.

Curvatura Geodetica

Data una curva $\gamma$ su una superficie $S$, la sua curvatura geodetica $\kappa_g$ è la componente tangenziale alla superficie della curvatura totale della curva:

$\kappa_g = \kappa \sin\theta$

dove $\kappa$ è la curvatura di $\gamma$ come curva spaziale e $\theta$ è l’angolo tra il vettore principale normale di $\gamma$ e la normale alla superficie.

Una curva è una geodetica se e solo se $\kappa_g = 0$ in ogni punto: l’accelerazione è ortogonale alla superficie (la curva non «curva» nella direzione tangente alla superficie).

Equazione delle Geodetiche

In coordinate parametriche $(u^1, u^2)$ sulla superficie, le geodetiche soddisfano il sistema di equazioni differenziali:

$\ddot{u}^k + \Gamma^k_{ij} \dot{u}^i \dot{u}^j = 0 \quad (k = 1, 2)$

dove $\Gamma^k_{ij}$ sono i simboli di Christoffel della prima forma fondamentale. Vedi: Forme Fondamentali delle Superfici.

Geodetiche su Superfici Notevoli

Sfera

Le geodetiche sulla sfera di raggio $R$ sono i cerchi massimi (intersezioni della sfera con i piani passanti per il centro). La distanza geodetica tra due punti è $d = R\theta$ dove $\theta$ è l’angolo al centro.

Cilindro circolare retto

Svolgendo il cilindro su un piano, le geodetiche diventano rette: si tratta quindi di eliche (incluse le generatrici e le circonferenze di base come casi limite).

Cono circolare retto

Svolgendo il cono su un piano (settore circolare), le geodetiche diventano rette del settore. La parametrizzazione richiede l’angolo al vertice del cono.

Piano

Le geodetiche del piano sono le rette ordinarie ($\kappa_g = 0$ ovunque).

Trasporto Parallelo

Un vettore tangente si dice trasportato parallelamente lungo una curva se rimane parallelo a sé stesso rispetto alla geometria intrinseca della superficie (la sua derivata covariante è nulla). Le geodetiche sono esattamente le curve lungo le quali il vettore tangente è trasportato parallelamente.

Applicazioni ingegneristiche

• Navigazione: la rotta di minima distanza tra due punti sulla Terra (ortodromia) è un arco di cerchio massimo (geodetica della sfera); il pilota automatico segue questa curva.
• Progettazione di compositi: le fibre nei materiali a filamento avvolto (pressure vessels, serbatoi) seguono geodetiche sul mandrino per minimizzare lo sforzo di taglio e la tensione di posa.
• Relatività generale: le traiettorie dei corpi in caduta libera (in assenza di forze non gravitazionali) sono geodetiche dello spaziotempo curvo di Einstein.
• Grafica computazionale: il calcolo delle distanze geodetiche su mesh 3D è usato per texture mapping, morphing e segmentazione di superfici.