Le funzioni iperboliche sono una famiglia di funzioni che presentano forti analogie con le funzioni trigonometriche circolari, ma sono costruite a partire dall’iperbole equilatera anziché dalla circonferenza.
Definizioni
Si basano sulla funzione esponenziale:
- Seno iperbolico: \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}
- Coseno iperbolico: \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}
- Tangente iperbolica: \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}
Proprietà Fondamentali
- Relazione fondamentale: \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 (analoga a \sin^2 x + \cos^2 x = 1).
- Derivate:
- \frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x
- \frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x (notare l’assenza del segno meno rispetto alle trigonometriche).
Significato Ingegneristico
- La Catenaria: Il profilo di un cavo omogeneo sospeso tra due punti sotto l’effetto della gravità è descritto da un coseno iperbolico: y = a \cosh(x/a).
- Trasmissione del calore: La distribuzione della temperatura in una aletta di raffreddamento segue un profilo iperbolico.
- Relatività: Le trasformazioni di Lorentz possono essere espresse tramite rotazioni iperboliche.
- Reti Neurali: La \tanh è stata per lungo tempo una delle funzioni di attivazione standard per i neuroni artificiali.