Funzioni Iperboliche

Le funzioni iperboliche sono una famiglia di funzioni che presentano forti analogie con le funzioni trigonometriche circolari, ma sono costruite a partire dall’iperbole equilatera anziché dalla circonferenza.

Definizioni

Si basano sulla funzione esponenziale:

• Seno iperbolico: $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
• Coseno iperbolico: $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
• Tangente iperbolica: $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$

Proprietà Fondamentali

1. Relazione fondamentale: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (analoga a $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$).
2. Derivate:
   • $\frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x$
   • $\frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x$ (notare l’assenza del segno meno rispetto alle trigonometriche).

Significato Ingegneristico

• La Catenaria: Il profilo di un cavo omogeneo sospeso tra due punti sotto l’effetto della gravità è descritto da un coseno iperbolico: $y = a \cosh(x/a)$.
• Trasmissione del calore: La distribuzione della temperatura in una aletta di raffreddamento segue un profilo iperbolico.
• Relatività: Le trasformazioni di Lorentz possono essere espresse tramite rotazioni iperboliche.
• Reti Neurali: La $\tanh$ è stata per lungo tempo una delle funzioni di attivazione standard per i neuroni artificiali.