Una funzione di variabile complessa è una mappa f: \Omega \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}. Le nozioni di limite e continuità si definiscono come in \mathbb{R}^2, ma la derivabilità complessa è molto più restrittiva.
Limiti e Continuità
\lim_{z \to z_0} f(z) = L \iff \forall\,\varepsilon > 0,\ \exists\,\delta > 0 : 0 < |z - z_0| < \delta \implies |f(z) - L| < \varepsilon
Come in \mathbb{R}^2, il limite deve essere uguale per ogni direzione di avvicinamento a z_0.
Derivabilità Complessa
f è derivabile in z_0 se: f'(z_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} \in \mathbb{C}
Il limite in h \in \mathbb{C} deve esistere indipendentemente dalla direzione di h \to 0. Questa condizione, molto più forte della derivabilità reale, è equivalente alle equazioni di Cauchy-Riemann + differenziabilità reale.
Teorema di Liouville
Ogni funzione intera (olomorfa su tutto \mathbb{C}) e limitata è costante.
Conseguenza: il teorema fondamentale dell’algebra (ogni polinomio non costante ha almeno una radice in \mathbb{C}) si dimostra per assurdo usando Liouville.
Principio del Massimo Modulo
Se f è olomorfa e non costante su un dominio connesso \Omega, allora |f(z)| non può avere massimi locali all’interno di \Omega. Il massimo di |f| su un dominio chiuso e limitato viene raggiunto sulla frontiera.
Applicazioni
- Il principio del massimo è alla base dei metodi di maggiorazione delle funzioni olomorfe.
- Liouville implica che le uniche funzioni intere limitate sono le costanti: fenomeno senza analogo reale (si pensi a \sin x limitata ma non costante).