Funzioni di Variabile Complessa

Una funzione di variabile complessa è una mappa $f: \Omega \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$. Le nozioni di limite e continuità si definiscono come in $\mathbb{R}^2$, ma la derivabilità complessa è molto più restrittiva.

Limiti e Continuità

$\lim_{z \to z_0} f(z) = L \iff \forall\,\varepsilon > 0,\ \exists\,\delta > 0 : 0 < |z - z_0| < \delta \implies |f(z) - L| < \varepsilon$

Come in $\mathbb{R}^2$, il limite deve essere uguale per ogni direzione di avvicinamento a $z_0$.

Derivabilità Complessa

$f$ è derivabile in $z_0$ se: $f'(z_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} \in \mathbb{C}$

Il limite in $h \in \mathbb{C}$ deve esistere indipendentemente dalla direzione di $h \to 0$. Questa condizione, molto più forte della derivabilità reale, è equivalente alle equazioni di Cauchy-Riemann + differenziabilità reale.

Teorema di Liouville

Ogni funzione intera (olomorfa su tutto $\mathbb{C}$) e limitata è costante.

Conseguenza: il teorema fondamentale dell’algebra (ogni polinomio non costante ha almeno una radice in $\mathbb{C}$) si dimostra per assurdo usando Liouville.

Principio del Massimo Modulo

Se $f$ è olomorfa e non costante su un dominio connesso $\Omega$, allora $|f(z)|$ non può avere massimi locali all’interno di $\Omega$. Il massimo di $|f|$ su un dominio chiuso e limitato viene raggiunto sulla frontiera.

Applicazioni

• Il principio del massimo è alla base dei metodi di maggiorazione delle funzioni olomorfe.
• Liouville implica che le uniche funzioni intere limitate sono le costanti: fenomeno senza analogo reale (si pensi a $\sin x$ limitata ma non costante).