Una funzione u(x, y, \dots) si dice armonica se è di classe C^2 e soddisfa l’equazione di Laplace: \Delta u = 0
Proprietà Caratteristiche
- Proprietà della Media: Il valore di una funzione armonica in un punto è uguale alla media dei valori assunti sulla superficie (o nel volume) di una sfera centrata in quel punto.
- Principio del Massimo: Una funzione armonica non può avere massimi o minimi locali all’interno del dominio; i valori estremi devono essere assunti sulla frontiera.
- Legame con l’Analisi Complessa: Le parti reale e immaginaria di ogni funzione olomorfa f(z) = u + iv sono funzioni armoniche (equazioni di Cauchy-Riemann).
Significato Ingegneristico
- Stati Stazionari: Le funzioni armoniche descrivono distribuzioni di equilibrio. In ingegneria termica, rappresentano il profilo di temperatura T in un corpo quando lo scambio di calore è nullo (\Delta T = 0).
- Fluidodinamica: Descrivono il potenziale di velocità \Phi nei flussi irrotazionali e incomprimibili.
- Elettrostatica: Descrivono il potenziale elettrico in regioni prive di cariche libere.
- Ingegneria Civile e Meccanica: Nello studio della torsione di prismi o della flessione di piastre, le funzioni armoniche appaiono come soluzioni dei termini di deformazione pura.