Funzioni Armoniche

Una funzione $u(x, y, \dots)$ si dice armonica se è di classe $C^2$ e soddisfa l’equazione di Laplace: $\Delta u = 0$

Proprietà Caratteristiche

1. Proprietà della Media: Il valore di una funzione armonica in un punto è uguale alla media dei valori assunti sulla superficie (o nel volume) di una sfera centrata in quel punto.
2. Principio del Massimo: Una funzione armonica non può avere massimi o minimi locali all’interno del dominio; i valori estremi devono essere assunti sulla frontiera.
3. Legame con l’Analisi Complessa: Le parti reale e immaginaria di ogni funzione olomorfa $f(z) = u + iv$ sono funzioni armoniche (equazioni di Cauchy-Riemann).

Significato Ingegneristico

• Stati Stazionari: Le funzioni armoniche descrivono distribuzioni di equilibrio. In ingegneria termica, rappresentano il profilo di temperatura $T$ in un corpo quando lo scambio di calore è nullo ($\Delta T = 0$).
• Fluidodinamica: Descrivono il potenziale di velocità $\Phi$ nei flussi irrotazionali e incomprimibili.
• Elettrostatica: Descrivono il potenziale elettrico in regioni prive di cariche libere.
• Ingegneria Civile e Meccanica: Nello studio della torsione di prismi o della flessione di piastre, le funzioni armoniche appaiono come soluzioni dei termini di deformazione pura.