Funzione Razionale

Una funzione razionale è una funzione $f(x)$ che può essere scritta come il rapporto tra due polinomi $P(x)$ e $Q(x)$: $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ Il dominio della funzione è costituito da tutti i numeri reali eccetto quelli che annullano il denominatore $Q(x)$.

Analisi del Grafico

• Zeri: Sono i punti dove il numeratore si annulla ($P(x)=0$) e il denominatore è diverso da zero.
• Asintoti Verticali: Si trovano in corrispondenza degli zeri del denominatore.
• Asintoti Orizzontali/Obliqui: Il comportamento all’infinito dipende dal grado relativo dei due polinomi.

Significato Ingegneristico

• Sistemi Dinamici LTI: In ingegneria dell’automazione, le funzioni di trasferimento nel dominio di Laplace ($H(s)$) sono quasi sempre funzioni razionali. La loro analisi (diagrammi di Bode, Nyquist) è la base della progettazione dei controllori.
• Progettazione di Filtri: I filtri elettronici (Butterworth, Chebyshev) sono realizzati tramite circuiti le cui risposte in frequenza sono approssimate da funzioni razionali di ordine opportuno.
• Approssimazione (Padé): Le funzioni razionali sono utilizzate per approssimare funzioni non lineari complesse (es. ritardi puri) tramite rapporti di polinomi, facilitando l’analisi computazionale.
• Ingegneria Chimica: Utilizzate per modellare le curve di equilibrio liquido-vapore e le cinetiche di reazione enzimatiche (es. Michaelis-Menten).