La monotonia descrive l’andamento globale o locale di una funzione reale rispetto all’ordine dei suoi argomenti.
Definizioni
Sia f: D \to \mathbb{R} e x_1, x_2 \in D con x_1 < x_2:
- Monotona Crescente: Se f(x_1) \leq f(x_2).
- Strettamente Crescente: Se f(x_1) < f(x_2).
- Monotona Decrescente: Se f(x_1) \geq f(x_2).
- Strettamente Decrescente: Se f(x_1) > f(x_2).
Proprietà dei Limiti
Le funzioni monotone ammettono sempre limite (destro e sinistro) in ogni punto del dominio. Se una funzione è monotona e limitata su tutto l’asse reale, essa converge necessariamente a un valore finito all’infinito.
Significato Ingegneristico
- Stabilità dei Processi: In termodinamica e ingegneria chimica, si ricercano spesso condizioni in cui l’entropia sia una funzione monotona crescente nel tempo (secondo principio).
- Ottimizzazione: Molti algoritmi di ricerca (es. gradient descent) si basano sulla costruzione di successioni di valori di funzione monotone decrescenti per raggiungere il minimo.
- Sistemi di Controllo: La risposta di un sistema del primo ordine a un gradino è una funzione monotona (esponenziale), caratteristica di sistemi stabili senza sovraelongazioni.
- Economia e Logistica: Analisi di curve di costo o di saturazione delle risorse che seguono andamenti monotonici.